Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 2  (Okunma sayısı 2159 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 2
« : Haziran 04, 2014, 03:15:34 ös »
$$\dfrac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9$$  eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 726
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 2
« Yanıtla #1 : Ocak 17, 2023, 11:58:40 ös »
Öncelikle karekök içi negatif olamayacağından $x\geq -\frac{1}{2}$ olmalıdır ama $x=0$ olursa eşitsizliğin sol tarafı tanımsız olur. Yani $x\in \left[-\frac{1}{2},\infty\right)-\{0\}$ için $$\dfrac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9\iff 4x^2<(2x+9)(1-\sqrt{1+2x})^2=(2x+9)(2+2x-2\sqrt{1+2x})$$ $$\iff 2x^2<(2x+9)(1+x-\sqrt{1+2x})=2x+9+2x^2+9x-(2x+9)\sqrt{1+2x}\iff (2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9$$ $x\geq -\frac{1}{2}$ olduğundan $(2x+9)\sqrt{1+2x}$ ve $11x+9$ pozitiftir. Dolayısıyla $$(2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9\iff (2x+9)^2(1+2x)<(11x+9)^2$$ $$\iff 8x^3+76x^2+198x+81<121x^2+198x+81\iff 8x^3<45x^2\iff x<\frac{45}{8}$$ Yani aradığımız aralık $\left[-\frac{1}{2},\frac{45}{8}\right)-\{0\}=\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{45}{8}\right)$'dir.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 05:07:25 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 872
  • Karma: +14/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 2
« Yanıtla #2 : Ocak 19, 2023, 04:57:00 ös »
İşlemleri kısaltmak adına pay ve paydayı $(1+\sqrt{1+2x})^2$ ile çarpıp gerekli kısaltmalar yapılınca $$2\sqrt{1+2x}\lt 7$$ $$x\lt\dfrac{45}{8}$$ elde ediliyor.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal