Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

• Tweet

$$\dfrac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9$$  eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

Öncelikle karekök içi negatif olamayacağından $x\geq -\frac{1}{2}$ olmalıdır ama $x=0$ olursa eşitsizliğin sol tarafı tanımsız olur. Yani $x\in \left[-\frac{1}{2},\infty\right)-\{0\}$ için $$\dfrac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9\iff 4x^2<(2x+9)(1-\sqrt{1+2x})^2=(2x+9)(2+2x-2\sqrt{1+2x})$$ $$\iff 2x^2<(2x+9)(1+x-\sqrt{1+2x})=2x+9+2x^2+9x-(2x+9)\sqrt{1+2x}\iff (2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9$$ $x\geq -\frac{1}{2}$ olduğundan $(2x+9)\sqrt{1+2x}$ ve $11x+9$ pozitiftir. Dolayısıyla $$(2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9\iff (2x+9)^2(1+2x)<(11x+9)^2$$ $$\iff 8x^3+76x^2+198x+81<121x^2+198x+81\iff 8x^3<45x^2\iff x<\frac{45}{8}$$ Yani aradığımız aralık $\left[-\frac{1}{2},\frac{45}{8}\right)-\{0\}=\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{45}{8}\right)$'dir.

[alpercay]

• Tweet

İşlemleri kısaltmak adına pay ve paydayı $(1+\sqrt{1+2x})^2$ ile çarpıp gerekli kısaltmalar yapılınca $$2\sqrt{1+2x}\lt 7$$ $$x\lt\dfrac{45}{8}$$ elde ediliyor.