Eşkenar üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir nokta

[geo]

$ABC$ eşkenar üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $BC$ kenarının orta noktasından $AP$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ ise $AH/HP$ nedir?

[Lokman Gökçe]

$[BC]$ nin orta noktası $M$, çevrel çemberin merkezi $O$ olsun. $O$ dan $AP$ ye inen dikme ayağı $N$ olmak üzere $|AN| = |NP|$ dir. Ayrıca eşkenar üçgende ağırlık merkezi özelliğinden $|AO| = 2 \cdot |OM|$ dir. $ ANO \sim AHM $ benzerliğinden $|AN| = 2 \cdot |NH|$ dir. Dolayısıyla $|PH| = |NH|$ olup $\dfrac {|AH|}{|PH|} = 3 $ elde edilir.