Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 2  (Okunma sayısı 2544 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2021
  • Karma: +9/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 2
« : Ekim 27, 2013, 02:14:43 ös »
  • Herbiri $1$ den farklı olan ve $xyz = 1$ koşulunu sağlayan tüm $x, y, z$ gerçel sayıları için
    $$ \frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2}  + \frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$$
    olduğunu kanıtlayınız.
  • Herbiri $1$ den farklı olan ve $xyz = 1$ koşulunu sağlayan sonsuz tane $x, y, z$ rasyonel sayı üçlüsü için yukarıdaki eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğünü gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 29, 2023, 05:11:27 ös Gönderen: Lokman Gökçe »

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 2
« Yanıtla #1 : Şubat 29, 2016, 07:28:32 ös »
Soruda $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},x=\dfrac{c}{a}$ dönüşümü yapılırsa soru;
 $$\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\ge 1$$
haline döner. Bu eşitsizlik de;
$$\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-3\right)^2\ge 0$$
olduğundan doğrudur. Şimdi b) bölümüne bakalım. $b=ak,c=b.r=akr$ dersek;
$$k+r+\dfrac{1}{rk}=3$$
şekilde sonsuz tane rasyonel sayı ikilisi olduğunu göstermek yeterlidir. Bunu düzenlersek;
$$k^2+(r-3)k+\frac{1}{r}=0$$
eşitliğinin $\delta$ sının tamkare olduğu sonsuz adet $r$ değeri varsa doğal olarak sonsuz sayıda $k,r \in \mathbf{Q}$ bulunur. Bunun için;
$$(r-3)^2-\frac{4}{r}=\frac {r - 4}{r}\left(x - 1\right)^2$$
olduğundan $\dfrac{r-4}{r}$ tamkare olacak şekilde sonsuz sayıda $r \in \mathbf{Q}$ olmalı. Buradan;
$$ (x,y,z) = \left( - k(k + 1),\dfrac{ - (k + 1)}{k^2},\dfrac{k}{(k + 1)^2}\right)$$
alırsak sağlayacağını görebiliriz. İspat biter.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 02:36:13 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3476
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 2
« Yanıtla #2 : Ocak 23, 2023, 02:30:37 öö »
$\dfrac{x}{x-1}=a$, $\dfrac{y}{y-1}=b$, $\dfrac{z}{z-1}=c$ dersek $a,b,c \neq 1$ olmak üzere $x=\dfrac{a}{a-1}$, $y=\dfrac{b}{b-1}$, $z=\dfrac{c}{c-1}$ olur. $xyz = 1$ eşitliği bize $abc = (a-1)(b-1)(c-1)$ eşitliğini verir. Parantezleri açarsak $a + b + c - 1 = ab + bc + ca$ olur. Ayrıca ispatlamamız istenen eşitsizlik de $a^2 + b^2 + c^2 \geq 1$ biçimine dönüşür. $2(ab + bc + ca) = (a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)$ özdeşliğinden faydalanırsak:

$\qquad 2(a + b + c - 1) = 2(ab + bc + ca)$
$\implies  2(a+b+c) - 2 = (a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)$
$\implies  a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -  2(a+b+c) + 2$
$\implies  a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c-1)^2 + 1 \geq 1$
elde edilir.

Şimdi eşitlik durumunu inceleyelim. $ a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ise $a+b+c = 1$ ve $ab+ bc + ca = 0$ olmalıdır. $c = 1 - a - b$ yazarsak $ab + (b+c)(1-a-b) = 0$ olup $b$ ye göre ikinci dereceden bir denklem olan
$$ b^2 + (a-1)b + a(a-1) = 0$$
eşitliğine ulaşırız. $a$ rasyonel iken denklemin $b$ kökünün de rasyonel sayı olması için gerek ve yeter şart diskriminantın bir rasyonel sayının karesi olmasıdır. $\Delta = (a-1)^2 - 4a(a-1) = (1-a )(1+3a)$ olur. $k,m$ tam sayılar olmak üzere $a=\dfrac{k}{m}$ koyalım. $\Delta = \dfrac{(m-k)(m+3k)}{m^2}$ olur. Eğer $m=k^2 - k + 1$ seçersek $m>0$ ve $\Delta = \dfrac{(k-1)^2(k+1)^2}{m^2}$ olur. $b$ yi büyük kök olarak seçerek devam edelim. $b = \dfrac{m-k + (k^2-1)}{m^2} = \dfrac{m-1}{m}$ olur. $a+b+c=1$ den dolayı $c=\dfrac{1-k}{m}$ bulunur. $a,b,c \neq 1$ şartına uygun olması için $k\neq 0$, $k\neq 1$ almalıyız. O halde $k>1$ tam sayıları seçerek sonsuz çoklukta $(a,b,c)$ rasyonel sayı üçlüsü elde edebiliriz. $x=\dfrac{a}{a-1}$, $y=\dfrac{b}{b-1}$, $z=\dfrac{c}{c-1}$ eşitliklerinden sonsuz çoklukta $(x,y,z)$ rasyonel sayı üçlüsü üretilir.


Kaynak: IMO çözüm kitapçıkları
« Son Düzenleme: Ocak 29, 2023, 05:11:40 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal