Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1

[geo]

• Tweet

Dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. Merkezi $BC$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $BC$ doğrusunu $A_1$ ve $A_2$ noktalarında kesiyor. Benzer şekilde, merkezi $CA$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $CA$ doğrusunu $B_1$ ve $B_2$ noktalarında ve merkezi $AB$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $AB$ doğrusunu $C_1$ ve $C_2$ noktalarında kesiyor. $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ noktalarının aynı çember üzerinde bulunduklarını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Çözüm: $ABC$ üçgeninin kenar orta noktaları $A_0, B_0, C_0$ olsun. $ABC$ nin çevrel merkezi $O$, çevrel yarıçapı $R$ olsun. Bahsedilen altı nokta çembersel olacaksa, bu çemberin merkezi ancak $O$ noktası olabilir. $[AH], [CH]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $K, L$ olsun. $OA_0LB_0$, $AKA_0O$, $HA_0OK$ dörtgenlerinin birer paralelkenar olduğunu görebiliriz. $|A_0K|=|OA|=R$ dir. $HA_0OK$ da paralelkenar kanunundan,
$$ 2(|OA_0|^2+ |A_0H|^2) = |OH|^2 + |A_0K|^2 = |OH|^2 + R^2 \tag{1} $$
olur. $OA_0A_1$ dik üçgeninden,
$$ |OA_1|^2 = |OA_0|^2 + |A_0A_1|^2 = |OA_0|^2 + |A_0H|^2 \tag{2}$$
olup $(1)$ ve $(2)$ den,
$$ |OA_1|^2 = \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2} $$
elde edilir. Bu ifade $ABC$ üçgeni için sabit olduğundan benzer şekilde $ |OB_1|^2 = |OC_1|^2 = \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2} $ elde edilir. Böylece, $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ noktaları çemberseldir ve çemberin merkezi $O$ noktası olup yarıçapı $\sqrt{ \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2}}$ dir.

Kaynak: IMO çözüm kitapçıkları