Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1  (Okunma sayısı 1952 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2021
  • Karma: +9/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1
« : Ekim 27, 2013, 02:13:21 ös »
Dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. Merkezi $BC$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $BC$ doğrusunu $A_1$ ve $A_2$ noktalarında kesiyor. Benzer şekilde, merkezi $CA$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $CA$ doğrusunu $B_1$ ve $B_2$ noktalarında ve merkezi $AB$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $AB$ doğrusunu $C_1$ ve $C_2$ noktalarında kesiyor. $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ noktalarının aynı çember üzerinde bulunduklarını gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 29, 2023, 05:11:06 ös Gönderen: Lokman Gökçe »

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3476
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ocak 23, 2023, 02:53:27 öö »
Çözüm: $ABC$ üçgeninin kenar orta noktaları $A_0, B_0, C_0$ olsun. $ABC$ nin çevrel merkezi $O$, çevrel yarıçapı $R$ olsun. Bahsedilen altı nokta çembersel olacaksa, bu çemberin merkezi ancak $O$ noktası olabilir. $[AH], [CH]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $K, L$ olsun. $OA_0LB_0$, $AKA_0O$, $HA_0OK$ dörtgenlerinin birer paralelkenar olduğunu görebiliriz. $|A_0K|=|OA|=R$ dir. $HA_0OK$ da paralelkenar kanunundan,
$$ 2(|OA_0|^2+ |A_0H|^2) = |OH|^2 + |A_0K|^2 = |OH|^2 + R^2 \tag{1} $$
olur. $OA_0A_1$ dik üçgeninden,
$$ |OA_1|^2 = |OA_0|^2 + |A_0A_1|^2 = |OA_0|^2 + |A_0H|^2 \tag{2}$$
olup $(1)$ ve $(2)$ den,
$$ |OA_1|^2 = \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2} $$
elde edilir. Bu ifade $ABC$ üçgeni için sabit olduğundan benzer şekilde $ |OB_1|^2 = |OC_1|^2 = \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2} $ elde edilir. Böylece, $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ noktaları çemberseldir ve çemberin merkezi $O$ noktası olup yarıçapı $\sqrt{ \dfrac{|OH|^2 + R^2}{2}}$ dir.




Kaynak: IMO çözüm kitapçıkları
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2023, 12:50:21 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal