Cevap:$\boxed{E}$
$A$ noktasından geçen ve $BC$'ye paralel olan doğru $CD$'yi $E$'de kessin. $ABCE$ paralelkenardır ve $m(\widehat{BAC})=\alpha$, $m(\widehat{BCA})=\beta$ dersek, açılar şekildeki gibi olur. $ABC$ ve $ADC$ üçgenlerinde sinüs teoreminden $\dfrac{2\sqrt{3}+2}{\sin{\alpha}}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$ ve $\dfrac{6}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{|AD|}{\sin{\alpha}}$ elde edilir. Bu iki eşitlikten $|AD|=2\sqrt{6}$ bulunur. $m(\widehat{AED})=\alpha+\beta$ olduğundan $AED$ ile $CAD$ benzerdir. $$\dfrac{|DE|}{|AD|}=\dfrac{|AD|}{|DC|}\Longrightarrow \dfrac{6-x}{2\sqrt{6}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{6}\Longrightarrow x=2$$ bulunur. $|AB|=2$'dir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6977.0;attach=15623;image)