Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2015 Soru 1

[Eray]

$a$ bir gerçel sayı olsun.$$y^2=x^3+(a-1)x^2+a^2x$$$$x^2=y^3+(a-1)y^2+a^2y$$denklem sisteminin tüm $(x,y)$ gerçel çözüm ikililerini bulunuz.

(Şahin Emrah, Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

İki eşitliği çıkartırsak $(y-x)(x^2+xy+y^2+a(x+y)+a^2)=0$ olur. Burada 2 durum mevcut.

(i.) $x=y$ ise eşitliğimize geri dönelim. $x(x^2+(a-2)x+a^2)=x^3+(a-2)x^2+a^2x=0$ olur. Ya $x=0$ olabilir veya $x^2+(a-2)x+a^2=0$ olur. $x=y= \dfrac{2-a \pm \sqrt{(2-3a)(a+2)}}{2}$ çözüm olur.

(ii.) $x \neq y$ olsun. $x^2+xy+y^2+a(x+y)+a^2=0$ olmalı.  $x= \dfrac{-a-y \pm \sqrt{(a+y)^2-4(y^2+ay+a^2)}}{2}$ ancak Delta $\le 0 $ olur. (Çünkü $4(y^2+ya+y^2) \ge 3(y+a)^2$ sağlanır. ) Delta $=0$ ancak $a=0=x=y$ içindir.