Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 27

[Dogukan6336]

$ s(\widehat {A}) = 60$ olan $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çiziliyor. $B$ köşesinden çizilen teğet doğru ile $CA$ kenarının uzantısı $D$ noktasında kesişiyor. Burada $A$  noktası, $C$ ile $D$ arasındadır. $\left| DC\right| = 4$ , $\left| AB\right| + \left| AD\right| = \left| AC\right|$ ise $\dfrac {\left| BC\right|} {\left| AB\right|}$ oranı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt {3}} {2}  \qquad \textbf{c)}\ \dfrac {3} {2}  \qquad \textbf{d)}\ \sqrt {2}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt {3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed E$

$|AD|=x$ diyelim, $|AB|=4-2x, ~|AC|=4-x$ olur.$ABD$ üçgeni ile $BCD$ üçgeni benzerliğinden $$\dfrac{|BC|}{4-2x}=\dfrac{|BD|}{x}=\dfrac{\sqrt{4x}}{x}\Rightarrow |BC|=\dfrac{2(4-2x)}{\sqrt{x}}$$ bulunur.$ABC$ üçgeninde kosinüs teoreminden $$(4-x)^2+(4-2x)^2-(4-2x)(4-x)=\dfrac{4(4-2x)^2}{x}\Rightarrow 3x^3-28x^2+80x-64=(3x-4)(x-4)^2=0$$ olur. $x=4$ olamayacağı için $x=\dfrac{4}{3}$ olmalı.Buradan $|BC|=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ ve $|AB|=\dfrac{4}{3}$ bulunur. Bu ikisinden $$\dfrac{|BC|}{|AB|}=\sqrt{3}$$ bulunur.