Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 21

[Egemen]

Düzlemdeki noktalardan oluşan bir $A$ kümesindeki her nokta için, o nokta merkezli ve birim yarıçaplı çember $A$'nın tam olarak $3$ noktasından geçiyorsa, $A$'nın en az kaç elemanı olabilir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[mustafaemir]

Yanıt: $\boxed{D}$

Örnek olarak $ABC$ eşkenar üçgeninin her kenarı $1$ br. olsun. Bu $ABC$ üçgenini $1$ br. öteleyerek $A'B'C'$ eşkenar üçgenini oluşturursak bu $6$ nokta istenen şartı sağlar.
Şimdi $6$ dan az nokta olamayacağını gösterelim.
Herhangi bir $A$ noktası alalım. $A$ merkezli birim çemberde $A_{1}$, $A_{2}$ ve $A_{3}$ noktaları bulunsun.

Durum $1$) $A_{1}$,$A_{2}$ ve $A_{3}$ merkezli birim çemberlerden hiçbiri diğer iki noktayı birden bulundurmasın. Bu durumda bu üç nokta birim çemberinde bu $4$ nokta ($A$,$A_{1}$,$A_{2}$ ve $A_{3}$) dışında bir nokta bulunduracaktır. Bu noktalardan birden çok varsa en az $6$ nokta olur. Bu dört nokta dışında tek nokta varsa ($A_{4}$ olsun) bu nokta hem $A_{1}$ hem $A_{2}$ hem $A_{3}$ ün birim çemberinde bulunacaktır.
$A_{1}$ merkezli birim çemberde $A$ ve $A_{4}$ var. $3$ nokta olması için $A_{2}$ veya $A_{3}$ den biri bu çemberde bulunmalı. Genelliği bozmadan bu nokta $A_{2}$ olsun.
$A_{3}$ merkezli birim çemberde benzer şekilde $A_{1}$ veya $A_{2}$ bulunmalı fakat ikisinden birisinin bulunması durumunda $A_{1}$ veya $A_{2}$ merkezli birim çemberde $4$ nokta bulunacak (Çelişki). Öyleyse bu dört nokta dışında tek nokta olması mümkün olmadığından toplam en az $6$ nokta olmalı.

Durum $2$)  $A_{1}$,$A_{2}$ ve $A_{3}$ merkezli birim çemberlerden en az biri diğer iki noktayı birden bulundursun. Genelliği bozmadan bu noktanın $A_{2}$ olduğunu kabul edelim yani $A_{2}$ merkezli birim çemberde $A$,$A_{1}$ ve $A_{3}$ bulunacak.
$A_{1}$ merkezli birim çemberde $A_{3}$ bulunması mümkün değildir (öyle olsaydı $AA_{1}A_{3}$ ve $A_{1}A_{2}A_{3}$ bir kenarı $1$ olan eşkenar üçgenler olduğundan $AA_{2}=\sqrt{3}$ olmalıydı oysa $AA_{2}=1$).
Öyleyse $A_{1}$ merkezli birim çemberde bu dört nokta dışında bir nokta bulunmalı.Bu nokta $X$ olsun. Aynısı $A_{3}$ için de geçerlidir. Bu nokta da $Y$ olsun. $X\equiv Y$ olduğunu düşünelim. $XA_{1}=XA_{3}=1$ olduğundan $X$ ya $A$ ya $A_{2}$ ile çakışıktır (çelişki). Demek ki $X$ ve $Y$ farklı noktalar olur ve $6$ nokta oluşur.

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

$ABC$ ve $DEF$ birim eşkenar üçgenler olmak üzere şu şekil $6$ nokta için şartı sağlar:


Şimdi, $5$ veya daha az noktanın şartı sağlayamayacağını gösterelim.

$5$ nokta için şartı sağlatmaya çalışalım:
$A_1$ merkezli birim çemberi çizelim ve üstünde bir $A_2$ noktasını işaretleyip $A_2$ merkezli birim çemberi de çizelim.


$A_1$ ve $A_2$ merkezli çemberlerin ikisinin de üzerinde $2$ nokta daha olmalıdır. Ancak toplam $3$ nokta daha işaretleyeceğimizden bir nokta iki çemberin üstünde birden olmalıdır. Bu şartı sağlayan $A_3$ noktasını işaretleyelim ve $A_3$ merkezli birim çemberi de çizelim.


İşaretlememiz gereken $2$ nokta kaldı. Ayrıca $A_1, A_2, A_3$ merkezli çemberlerin üçünde de $1$ nokta daha olmalı. Dolayısıyla bir nokta herhangi iki çemberin de üstünde olmalıdır. $A_2$ ve $A_3$ merkezli çemberlerin ikisinin de üstünde olan $A_4$ noktasını işaretleyelim ve $A_4$ merkezli birim çemberi de çizelim.


Son $1$ nokta daha işaretlemeliyiz ve $A_1$ ve $A_4$ merkezli çemberlerin üstünde $1$ nokta daha olmalı. Ancak bu iki çemberin iki kesişim noktası olan $A_2$ ve $A_3$ noktaları işaretli olduğundan son noktayı şartları sağlayacak şekilde işaretleyemeyiz. Dolayısıyla $5$ nokta için bu şart sağlanamaz.

$4$ nokta için sağlamayacağını gösterelim:
$A_1$ merkezli birim çemberi çizelim ve üstünde bir $A_2$ noktası işaretleyip $A_2$ merkezli birim çemberi de çizelim.


$A_1$ ve $A_2$ merkezli çemberlerin ikisinin de üzerinde $2$ nokta daha olmalıdır. Ancak işaretlememiz gereken $2$ nokta kaldığından bu $2$ nokta, bu iki çemberin kesişim noktaları üzerinde olmak zorundadır. Bu şartı sağlayan $A_3$ ve $A_4$ noktalarını işaretleyelim ve $A_3$ merkezli birim çemberi çizelim.


$4$ nokta işaretledik fakat $A_3$ merkezli birim çember $A_1$, $A_2$, $A_4$ noktalarından geçmedi. Dolayısıyla $4$ nokta için de bu şart sağlanamaz.

$3$ veya daha az sayıda nokta olamaz, çünkü bir nokta için, o nokta merkezli birim çember $3$ noktadan geçiyorsa kümede en az $4$ nokta bulunması gerekir.

Yani, $A$'nın en az $6$ elemanı olabilir.