Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

$0 \leq n < 23^2$ koşulunu sağlayan kaç farklı $n$ tam sayısı için $n^5+2n^4+n^3-3n+2$ sayısı $23^2$ ile tam bölünür?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 23
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n^5+2n^4+n^3-3n+2 = (n+2)(n^4+n^2-2n+1)$

İkinci çarpanı $\mod23$ de incelersek, $(n^2)^2 \equiv -(n-1)^2 \pmod{23}$. Bu denkliğin çözümünün olması için, $\mod23$ de karesi $-1$ e denk olan bir sayı olmalıdır. Ancak $23\equiv -1\pmod4$ olduğu için bu imkansızdır. Dolayısıyla $n^4+n^2-2n+1$ ifadesinde $23$ çarpanı bulunamaz.

O halde $23^2|(n+2)(n^4+n^2-2n+1) \Longleftrightarrow 23^2|n+2$. Yani şart sadece $n=23^2-2$ için sağlanır.