Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 04

[mehmetutku]

Düzlemdeki $n$ doğrunun her biri diğer doğruların tam olarak $2015$  tanesiyle kesişiyorsa, $n$ kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{D}$

$n$  tane doğruyu maksimum sayıda kümeye ayıralım. Öyle ki her kümedeki doğrular kendi içlerinde birbirlerine paralel olsun. O zaman bir kümedeki bir doğru kendi kümesindeki doğrular dışında bütün doğruları kesmektedir. Kümelerin sayısı $k$  olsun. Her kümedeki doğru sayısı $1\leq i \leq k$  olmak üzere  $a_i$ olsun. Birinci kümedeki bir doğru için yazarsak $a_2+a_3+\cdots+a_k=2015$ olur. İkinci kümedeki bir doğru için yazarsak $a_1+a_3+\cdots+a_k=2015$  olur. $k.$ kümedeki bir doğru için yazarsak  $a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}=2015$ olur. Her bir kümedeki bir doğru için yazılan denklemleri taraf tarafa toplarsak $(k-1)\cdot(a_1+a_2+\cdots+a_k)=2015\cdot k$ olur. $a_1+a_2+\cdots+a_k=n$  olduğunu biliyoruz.  O zaman $(k-1)\cdot n=2015\cdot k$  olur.  $k$ ile $k-1$  aralarında asal olduğu için  $k-1 \mid 2015$  olmalı. Ve her $k-1$  değeri için bir $n$  değeri vardır.  Yani cevap $2015$  in pozitif bölenlerinin sayısı kadardır. $2015=5\cdot13\cdot31$ olduğu için cevap $8$ dir.

NOT: Bu soru daha önce 2004 yılında 31. soru olarak $2015$ yerine $2004$ yazılarak sorulmuştur.