Öncelikle bu fonksiyonun birebir, örten olduğunu gösterelim. $x=1$ koyarsak, $$f(f(y))=\frac{f(1)}{y}\tag{1}$$ olacaktır. Örtenlik için herhangi bir $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}^+$ için $y=\frac{b}{af(1)}$ alırsak, $$f(f(y))=\frac{a}{b}$$ olacağından $f(y)\mapsto \frac{a}{b}$ olacaktır, yani fonksiyon örtendir. Ayrıca $$f(y_1)=f(y_2)\implies f(f(y_1))=f(f(y_2))\implies \frac{f(1)}{y_1}=\frac{f(1)}{y_2}\implies y_1=y_2$$ elde edilir. Yani fonksiyon birebir ve örtendir, dolayısıyla tersi vardır. $(1)$'de $y=1$ koyarsak, $$f(f(1))=f(1)\implies f^{-1}(f(f(1)))=f^{-1}(f(1))\implies f(1)=1$$ elde edilir. Yani $f(f(y))=\frac{1}{y}$'dir. Ana denklemde $y$ yerine $f(y)$ yazarsak $$f(xf(f(y)))=f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}\implies f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)f(y)\tag{2}$$ elde edilir. $x$ yerine $xy$ yazarsak $$f(xy)=f(x)f(y)\tag{3}$$ olacaktır. Eğer herhangi bir $p$ asalı için $f(p)$'yi bulursak, $(3)$'den her $n$ pozitif tamsayısı için $f(n)$'yi inşa edebiliriz. $(2)$'yi kullanarak da her $x\in\mathbb{Q}^+$ için $f(x)$'i inşa ederiz. Öncelikle $(3)$'ün ve $f(f(y))=\frac{1}{y}$ eşitliğinin ana denklemi verdiği kolayca görülebilir çünkü $$f(xf(y))=f(x)f(f(y))=\frac{f(x)}{y}$$ olacaktır. Bir $p$ asalının $a$'ya gittiğini varsayarsak, $f(f(p))=f(a)=\frac{1}{p}$ olduğundan ve $(3)$'den $$p\mapsto a\mapsto \frac{1}{p}\mapsto \frac{1}{a}\mapsto p$$ şeklinde bir döngü elde edilecektir. Bu döngüden yola çıkarak $p_k$, $k.$ asalı temsil etmek üzere $$f(p_{2k})=p_{2k+1}\quad \text{ve}\quad f(p_{2k+1})=\frac{1}{p_{2k}}\tag{4}$$ olarak tanımlarsak tüm asal sayılar için $f$'i uygun bir şekilde tanımlamış oluruz. Tüm pozitif rasyonel sayılar için $x=\frac{r_1^{a_1}r_2^{a_2}\cdots r_k^{a_k}}{q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_t^{b_t}}$ olarak asal çarpanlarına ayırırsak, $$f(x)=\frac{f(r_1)^{a_1}f(r_2)^{a_2}\cdots f(r_k)^{a_k}}{f(q_1)^{b_1}f(q_2)^{b_2}\cdots f(q_t)^{b_t}}$$ ve asallar için $(4)$'ü kullanarak fonksiyonu tanımlamış oluruz.
