Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2008 Soru 15

[Lokman Gökçe]

Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşan bir sayı olmayacak şekilde, en fazla kaç iki basamaklı sayı yazabilir?

$\textbf{a)}\ 11
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Yazılan sayılardan ikisi $x, y$ olsun. $x>y$ varsayabiliriz. $a$ bir rakam ve $aa$ iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere $x-y \neq aa$ olmalıdır. Eğer $x-y = aa = 11\cdot a$ olursa, $11\mid x-y$ olurdu. Tersine olarak $x,y$ iki basamaklı sayıları için $11\mid x-y$ oluyorsa, $x-y\in \{ 11, 22, 33, \dots , 88\}$  olur. Böylece, farkları $11$ ile bölünemeyecek şekilde en fazla kaç tane iki basamaklı doğal sayı seçebileceğimizi bulmalıyız. Güvercin yuvası prensibine göre, $12$ sayı seçilirse en az ikisi modülo $11$ içinde aynı denklik sınıfında olacağından, en fazla $11$ sayı seçebileceğimizi anlarız. $11$ için örnek olarak $10, 11, 12, \dots, 20$ sayıları alınabilir.