Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 32

[geo]

Tüm $x,y$ pozitif gerçel sayıları için
$$f(x)f(y)-f(xy) = \dfrac yx + \dfrac xy$$ koşulunu sağlayan $f$ fonksiyonlarının alabileceği farklı $f(2)$ değerlerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 52
\qquad\textbf{b)}\ -\dfrac 54
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 54
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$x=1, y=1$ için
$$f^2(1) - f(1) - 2 = 0 \Rightarrow f(1)=2 \text{ veya } f(1)=-1$$
$y=1$, $f(1)=2$ için
$$f(x)\cdot2 - f(x) = \dfrac 1x + x \Rightarrow f(x) = x + \dfrac 1x$$
$y=1$, $f(1)=-1$ için
$$f(x)(-1) - f(x) = \dfrac 1x + x \Rightarrow f(x) = \dfrac {-1}2 \left(x + \dfrac 1x\right)$$
olur.
$f(x) = x+ \dfrac 1x$ fonksiyonu,
$$\left(x+\dfrac 1x\right)\left(y+\dfrac 1y\right) - \left(xy + \dfrac 1{xy} \right) = xy + \dfrac 1{xy} + \dfrac xy + \dfrac yx - xy - \dfrac 1{xy} = \dfrac yx + \dfrac xy $$ olduğu için verilen fonksiyon denklemini sağlar. Bu durumda $f(2)=\dfrac 52$ bir çözümdür.
Öte yandan, $f(x) = \dfrac {-1}2\left(x+ \dfrac 1x\right)$ fonksiyonu,
$$\dfrac 14\left(x+\dfrac 1x\right)\left(y+\dfrac 1y\right) + \dfrac 12\left(xy + \dfrac 1{xy} \right) = \dfrac {xy}4 + \dfrac 1{4xy} + \dfrac x{4y} + \dfrac y{4x} + \dfrac {xy}2 + \dfrac 1{2xy} = \left(xy + \dfrac{1}{xy}\right)\dfrac 34 + \left(\dfrac yx + \dfrac xy\right)\dfrac 14 \neq \dfrac yx + \dfrac xy $$ olduğu için verilen fonksiyon denklemini sağlamaz.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(C)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.