Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 19

[geo]

Kenar uzunlukları $3$, $7$ ve $8$ olan bir üçgenin içinde gelişigüzel alınan bir noktadan, köşelerden en az birine olan uzaklığı $1$ den küçük olması olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\pi}{36}\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\pi}{36}\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\pi}{36}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 34
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Köşeleri merkez alarak $1$ yarıçaplı çember yaylarını üçgen içerisinde kalacak şekilde çizelim. Bu üç eş yarıçaplı yayın ölçüleri toplamı $180^\circ$ olduğu için, bu üç yay bir yarım çember yapar. Bu çemberin alanı $\dfrac 12 \cdot \pi\cdot 1^2 = \dfrac {\pi}2$ dir. Üçgenin alanı da (Heron Formülü) $\sqrt {9(9-3)(9-7)(9-8)} = 6\sqrt 3$ olduğu için seçilen bir noktanın bu üç çember parçasının içerisinde olma olasılığı $$\dfrac {\dfrac {\pi}2}{6\sqrt 3} = \dfrac{\pi}{36}\sqrt 3$$ olur.