Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1994 Soru 1

[geo]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olsun. $a_1, a_2, \dots, a_m$, $\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin farklı öyle elemanları olsun ki, $1\leq i\leq j \leq m$ olmak üzere $a_i+a_j\leq n$ olduğu her durumda, $a_i+a_j=a_k$ olacak şekilde bir $k$ ($1\leq k \leq m$) bulunsun. $$\frac{a_1+a_2+\dots + a_m}{m} \geq \frac {n+1}2$$ olduğunu kanıtlayınız.