Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki $n$ sayılarından hangisi için, $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar bir çemberin ertafına, her sayı, her iki yanındaki sayıların farkına bölünecek biçimde dizilebilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 13
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

İlk olarak şu birkaç gözlemi yapalım:
1) $1$ in her iki yanındaki sayılar ardışık olmak zorundadır.
2) $n$ bir asal sayı ise $n$ nin her iki yanındaki sayılar ardışık olmak zorundadır. Böylece bunların farkı $1$ olup $n$ yi böler.
3) $n$ den küçük bir $p$ asalının her iki yanındaki sayılar ya ardışıktır ya da $\{p+1,1 \}, \{p+2,2 \}, \dots $ gibi farkları $p$ ye eşittir.

$n=5$ alalım. $5$ in yanındaki sayılar $ \{ (1,2),(2,3),(3,4) \}$ ikilileri olabilir. Bu durumlar incelenirse hiçbirinde uygun bir konfigürasyon oluşmadığı görülebilir.
$n=6$ alalım. $5$ in yanındaki sayılar $\{(1,2),(2,3),(3,4),(1,6) \}$ ikilileri olabilir. Bu durumlardan da uygun bir konfigürasyon elde edilemez.
$n=7$ alalım. $7$ nin yanındaki sayılar $\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$ ikilileri olabilir. $7$ nin yanına gelecek $\{3,2\}$ için uygun bir konfigürasyon vardır. $\{3,7,2,6,5,1,4\}$ dairesel dizilimi yazılabilir.

NOT: Muhtemelen daha güzel bir çözümü vardır.