Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

Kare şeklindeki bir arazi, sınırlarına paralel doğrular çizilerek dikdörtgen şeklindeki $n$ tarlaya bölünüyor. Tarlaların çevre uzunluklarının toplamı, arazinin çevre uzunluğunun $100$ katıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 10000
\qquad\textbf{b)}\ 20000
\qquad\textbf{c)}\ 50000
\qquad\textbf{d)}\ 100000
\qquad\textbf{e)}\ 200000
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $A$

Karenin bir kenar uzunluğu $a$ ise, çevresi $4a$ olur. Şimdi kare arazinin yatay kenarına paralel $m-1$ tane doğru çizerek $m$ dilime ayıralım. Kare arazinin düşey kenarına paralel $k-1$ tane doğru çizerek $k$ dilime ayıralım. Oluşan dikdörtgenlerin sayısı $n=m\cdot k$ dır. Oluşan dikdörtgenlerin çevreleri toplanırken $m-1$ tane kenar ikişer kez, $2$ kenar birer kez hesaplanır. Yine $k-1$ tane kenar ikişer kez, $2$ kenar birer kez hesaplanır. Toplam çevre $2(m-1)a+2a+2(k-1)a+2a=2a(m+k)$ olup bu değer karenin çevresinin $100$ katına eşit olduğundan $2a(m+k)=100\cdot 4a$ dır. $m+k=200$ bulunur. Aritmetik – geometrik ortalama eşitsizliğinden  $\sqrt{n}=\sqrt{m \cdot k} \leq \dfrac{m+k}{2}=100$ olup $n \leq 100^2$ dir. Eşitlik durumu $m=k=100$ iken sağlanır.