Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ sayısının ondalık yazılımında virgülden sonra üçüncü basamaktaki rakam nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed {E}$

$x = \sqrt [3]{2+\sqrt5} + \sqrt [3]{2-\sqrt5} $ , $ a= = \sqrt [3]{2+\sqrt5} $, $ =b \sqrt [3]{2-\sqrt5} $ diyelim. $x=a+b$ olur. $a^3+b^3=4$ ve $ab=-1$ dir.

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ özdeşliğine göre $x^3=4+3\cdot (-1)\cdot x$ olup $x^3+3x-4=0$ denkleminin gerçel kökü $x=1$ dir. Diğer kökler gerçel sayı değildir. Dolayısıyla $ \sqrt [3]{2+\sqrt5} + \sqrt [3]{2-\sqrt5} = 1$ olup bir tam sayının ondalıklı açılımında virgülden sonraki tüm rakamları $0$ dır.