Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 22

[Squidward]

Ardışık iki pozitif tam sayının her ikisinin de rakamları toplamı $11$ ile tam bölünüyorsa, bu ardışık sayılardan küçük olanı en az kaç basamaklıdır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 11$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{C}$

Ardışık iki pozitif tam sayının her ikisinin de rakamları toplamı $11$ ile bölünüyorsa sayının en az sondan $1$ basamağı $9$ olmalıdır.
$n$ sayısının rakamlarının toplamını $S(n)$ ile gösterelim.
$n$ sayısını $a_1a_2a_3\dots a_x99\dots 9$ gibi düşünelim. $9$ ların sayısı $y$ olsun.
$S(n)=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_x+9y$
$S(n+1)=1+a_1+a_2+a_3+\cdots + a_x$ bunların farkı olan $9y-1$ de $11$ in katı olmalıdır. $y=11p+5$ , $y \in \mathbb Z^+$ olduğundan $y_{\min {}}=5$ olmalıdır.

Şimdi geriye kalan $a_1,a_2,a_3, \dots ,a_x$ basamaklarını oluşturalım. $a_1+a_2+\cdots +a_x+45$ $11$'in katı olması için $a_1+a_2+\cdots +a_x \equiv 10 \pmod {11}$ olmalıdır. Bu kalanı elde etmek için en az $2$ rakam kullanılmalıdır. Dolayısıyla sayımız en az $5+2=7$ basamaktan oluşur.