Tübitak Lise Takım Seçme 2007 Soru 5

[Lokman Gökçe]

Hangi $n$ pozitif tek sayıları için, $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=n^{4}$$ eşitliğini sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ tek sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

(Özgür Kişisel)

[merdan97]

$ x_{i}$'ler tek olduğundan $ {x_i}^2\equiv 1\ \pmod 8$ ve $n$ tek olduğundan $ n^2\equiv 1\ \pmod 8$.
Bunları birleştirirsek $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots x_{n}^{2}\equiv n\equiv n^{4}\equiv 1\ \pmod 8$.
Aynı zamanda $n=8k+1$ için $ (8k+1)^{4}=((8k+1)^{2}-2)^{2}+(16k+1)^{2}+k\cdot5^{2}+(7k-1)\cdot1^{2}$ olduğundan $ n=8k+1 $ formunda olmalıdır.

Kaynak:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=142325?ml=1