Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $Alan(ABC)=Alan(ADC)$ olup, $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesim noktası $E$'dir. $E$
noktasından $\lbrack AD\rbrack ,\lbrack DC\rbrack ,\lbrack BC\rbrack ,[AB]$ kenarlarına çizilen paralel doğrular $\lbrack AB\rbrack $, $\lbrack BC\rbrack $, $\lbrack CD\rbrack $, $\lbrack DA \rbrack $ kenarlarını sıra ile $K$, $L$, $M$, $N$ noktalarında kestiğine göre, $$\dfrac{Alan(KLMN)}{Alan(ABCD)}$$ oranını hesaplayınız.

[geo]

Paralellikten dolayı $\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{KB}{AK}=\dfrac{AN}{DN}=\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{CM}{MD}$. Bu durumda $AKNE$ ve $ELMC$ birer paralelkenar, $NM\parallel AC\parallel KL$ olur.

$\left[ANE\right]=\left[AKE\right]=\left[NEK\right]=A$, $\left[EMC\right]=\left[ELC\right]=\left[EML\right]=C$,  $\left[DNM\right]=D$, $\left[NEM\right]=B$ olur. $\left[ADC\right]=[ABC]$ olduğu için $\left[NEMD\right]=\left[KBLE\right]=B+D$ olacaktır.

$\dfrac{\left[NEM\right]}{\left[NEMD\right]}=\dfrac{B}{B+D}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{BE}{BD}$ ve $\dfrac{\left[KBL\right]}{\left[KBLE\right]}=\dfrac{\left[KBL\right]}{B+D}=\dfrac{KB}{AB}=\dfrac{BE}{BD}$ olduğu için $\left[KBL\right]=\left[NEM\right]=B$ ve $\left[DNM\right]=\left[KEL\right]=D$ olacaktır. Son durumda $\left[KLMN\right]=A+B+C+D=\dfrac{\left[ABCD\right]}{2}$ elde edilir.