Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 03

[geo]

En fazla $3, 5, 7$ ve $8$ top alabilen dört kutuya birbirinin aynı olan $19$ top kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 34
\qquad\textbf{b)}\ 35
\qquad\textbf{c)}\ 36
\qquad\textbf{d)}\ 40
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$$\begin{array}{rcl}
3+5+7+8 &=& 23 \\
23 - 19 &=& 4
\end{array}$$
Bu sayılar da neyin nesi? Toplamda kutuların kapasitesi $23$, yerleştirilecek topların sayısı $19$. Kutuların dolu olduğunu varsayalım, bu durumda $4$ kutudan $4$ top çıkaracağız. Normalde bu işlem (tekrarlı kombinasyon) $$ { {4+4-1} \choose {4-1} } = { {7} \choose {3}} = 35$$ farklı şekilde yapılır. Kapasitesi $3$ olan kutudan $4$ top çıkaramadığımız için $(4,0,0,0)$ dağıtımını iptal ediyoruz. Bu durumda $35-1=34$ farklı dağıtım elde edilir.

[geo]

Bir önceki çözümde yapılanı daha cebirsel bir dille ifade edelim.

$x_1\leq 3, x_2 \leq 5, x_3\leq 7, x_4 \leq 8$ olmak üzere $x_1+x_2+x_3+x_4=19$ denkleminin negatif olmayan tam sayı çözümlerini araştırıyoruz.

$x_1+y_1=3, x_2 + y_2 = 5, x_3 + y_3= 7, x_4 + y_4 = 8$ olsun.
Benzer şekilde $y_1\leq 3, y_2 \leq 5, y_3\leq 7, y_4 \leq 8$ ve $3-y_1+5-y_2+7-y_3+8-y_4=19$
$ \Rightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=23-19=4$

$4$ şeker $4$ çocuğa ${ {4+4-1} \choose {4-1} } = { {7} \choose {3}} = 35$ şekilde dağıtılabilir; ama ilk çocuk $y_1< 4$ olduğu için $(4,0,0,0)$ dağılımı mümkün değil. Bu durumda cevap $35-1=34$ olur.