Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 4

[geo]

Diklik merkezi $H$ olan bir dar açılı $ABC$ üçgeninde $W$, $BC$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ den farklı bir nokta olsun. $M$ ve $N$ noktaları, sırasıyla $B$ ve $C$ ye ait yükseklik ayağı olsun. $BWN$ nin çevrel çemberi $w_1$ olmak üzere; $w_1$ üzerinde bir $X$ noktası, $[WX]$ doğru parçası $w_1$ in bir çapı olacak şekilde seçiliyor. Benzer biçimde $CWM$ nin çevrel çemeri $w_2$ olmak üzere; $w_2$ üzerinde bir $Y$ noktası, $[WY]$ doğru parçası $w_2$ nin bir çapı olacak şekilde seçiliyor. $X$, $Y$ ve $H$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

[berkkant]

BWN nin çevrel çemberi ile CWM nin çevrel çemeri ikinci kez J' de kesişsinler m(XJW) =m(YJW)= 90 olduğundan X,J,Y doğrusaldır. Miquel teoreminden ANJM çemberseldir.  Böylece A,M,J,H,N Çemberseldir.  Bu sebepten m(NJH)=m(NAH)= 90 - m(B) =m(XBN)=  m(NJX) olur.  Böylece J,H,X,Y doğrusal.


BERKKANT KOÇ

[ERhan ERdoğan]

Verilen bilgiler ile $\angle{BNC}=\angle{CMB}=\angle{XBC}=\angle{YCB}=90^\circ$ görülebilir. $w_{1}$ ile $w_{2}$ çemberlerinin ikinci defa kesiştikleri noktaya $S$ diyelim. $\angle{XSW}=\angle{YSW}=90^\circ$ olduğundan $X-S-Y$ doğrusal noktalardır.
$\angle{HAB}=\angle{NCB}=\angle{NBX}=\angle{NSX}= \alpha$ olduğundan $X-H-S$ noktaları  ve $\angle{HAC}=\angle{MBC}=\angle{MCY}=\angle{MSY}=\beta$  olduğundan da $Y-S-H$ noktaları doğrusaldır.
Buna göre; $X-H-S-Y$ noktaları aynı doğru üzerindedir.