2020 yi iki tam kare farkı olarak yazma {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (Lokman GÖKÇE): $x, y$ pozitif tam sayılar olmak üzere $x^2 - y^2=2020$ denkleminin kaç tane $(x,y)$ ikilisi çözümü vardır?


$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2^2\cdot 5\cdot 101$$ $(x+y)$ ve $(x-y)$ arasındaki fark $2y$, yani çift olduğundan $(x+y)$ ve $(x-y)$'nin pariteleri aynıdır. Çarpımları çift olduğundan $(x+y)$ ve $(x-y)$ çift olmalıdır. $x+y=2m$ ve $x-y=2n$ diyelim. Taraf tarafa toplar ve çıkartırsak $x=m+n$ ve $y=m-n$ olur. $y$ pozitif olduğundan $m>n$'dir. $$(x+y)(x-y)=4mn=4\cdot 5\cdot 101\Rightarrow mn=5\cdot 101$$ Buradan $(m,n)=(505,1),(101,5)$ çözümleri bulunur. Yerine yazarsak $(x,y)=(506,504),(106,96)$ bulunur.