Genelliği bozmadan $x\geq y$ olsun. $z>2^x$ olduğu barizdir. Ayrıca $z$ tek olduğundan dolayı $k$ pozitif tek sayısı için $z=2^x+k$ diyebiliriz. Yerine yazarsak, $$4^x+k^2+2^{x+1}k=1+4^x+4^y\implies k^2-1=2^{2y}-2^{x+1}k$$ olur. $k=1$ ise $2y=x+1$ bulunur. Dolayısıyla $n\geq 1$ için $y=n$ dersek, $(x,y,z)=(2n-1,n,2^{2n-1}+1)$ çözümü bulunur.
$k\geq 3$ için $z>2^x+1$ olacağından $2y>x+1$ olur. Dolayısıyla $2^{x+1}\mid k^2-1$ olur. $(k-1,k+1)=2$ olduğundan $2^x$ sayısı ya $k-1$'i ya da $k+1$'i böler.
$2^x\mid k-1$ ise $m\geq 1$ için $k=2^x\cdot m+1$ yazalım. $$(2^x\cdot m+1)^2-1=2^{2y}-2^{x+1}(2^x\cdot m+1)$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+m=2^{2y-x-1}-2^{x}m-1$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+(2^x+1)m+1=2^{2y-x-1}\leq 2^{x-1}$$ çelişkisi elde edilir.
$2^x\mid k+1$ ise $m\geq 1$ için $k=2^x\cdot m-1$ yazarsak, $$(2^x\cdot m-1)^2-1=2^{2y}-2^{x+1}(2^x\cdot m-1)$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+(2^x-1)m=2^{2y-x-1}+1\leq 2^{x-1}+1$$ elde edilir. Eşitsizliğin sağlanması için $m=x=1$ olmalıdır. Bu durumda $x\geq y$ olduğundan $(1,1,3)$ çözümü elde edilir ancak bu daha önce bulduğumuz çözüm formatındaki $n=1$ durumuna eşittir. Buradan yeni bir çözüm gelmez.
Dolayısıyla tüm çözümler $n\in\mathbb{Z}^+$ için $(x,y,z)=(2n-1,n,2^{2n-1}+1)$ şeklindedir.
