$n$ üzerinden tümevarım yapalım.
$n=1,2$ için ifadenin $1$ e eşit olduğu kolayca görülür.
$n=k-1$ için doğru olsun, $n=k$ için doğruluğunu gösterelim.
$d_i=a_{1i}+\ldots +a_{(k-1)i}$ olsun.
$1\leq i \leq k-1$ için $\frac{1}{c_i}=\frac{1}{d_i+a_{ki}}=\frac{a_{ik}}{d_i\cdot a_{ik} + 1}$
$e_i=\frac{1}{d_i}$ tanımlayıp yerine yazarsak $1\leq i \leq k-1$ için
$\frac{1}{c_i}=\frac{a_{ik}\cdot e_i}{a_{ik} + e_i}$ ve $\frac{1}{c_k}=\frac{1}{a_{ik}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olmak üzere
$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}+\frac{1}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}\leq 1$ olduğunu göstermek yeterlidir. Bu da
$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}\leq\frac{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k}}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olmasına denktir.
Lemma: $\frac{a_1\cdot b_1}{a_1 + b_1}+\frac{a_2\cdot b_2}{a_2 + b_2}\leq\frac{(a_1 + a_2)\cdot (b_1 + b_2)}{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}$
Lemmayı ispatlamak için ifadeyi açıp düzenlersek $2a_1a_2b_1b_2\leq (a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2$ elde ederiz ki doğrudur.
Lemmayı tekrarlı bir şekilde kullanırsak
$\frac{a_{1k}\cdot e_1}{a_{1k} + e_1}+\ldots +\frac{a_{(k-1)k}\cdot e_{k-1}}{a_{(k-1)k} + e_{k-1}}\leq\frac{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})\cdot (e_1+\ldots + e_{k-1})}{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})+(e_1+\ldots + e_{k-1})}$ elde ederiz.
Son olarak $\frac{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})\cdot (e_1+\ldots + e_{k-1})}{(a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k})+(e_1+\ldots + e_{k-1})}\leq\frac{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k}}{a_{1k}+\ldots + a_{(k-1)k} + 1}$ olduğunu gösterelim.
Taraf tarafa çarpıp düzenlersek, ifade $e_1+\ldots e_{k-1}\leq 1$ olmasına denktir ki tümevarım varsayımından doğrudur, q.e.d
