Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 12

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde $m$ ve $n$ bilye içeren iki öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu ya her iki öbekten birer bilye alıyor, ya sadece istediği bir öbekten bir bilye alıyor ya da istediği bir öbekten diğer öbeğe bir bilye aktarıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun $(m,n)  = (9,21), (11,11), (10,33), (16,24)$ ve $(25,26)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[yusufbatindeveci]

Önüne 0,0 gelen kişi kaybeder. 1. Oyuncu eğer önünde (çift,çift) durumu yoksa durumu her zaman (çift,çift) yapabilir. Bu yüzden 1. oyuncu 16,24 durumu dışında bütün hamlelerini çift,çift yaparak kazanmayı garantileyebilir. Ancak 16,24 durumunda 2. oyuncu yine aynı mantıkla çift,çift yaparak kazanmayı garantiler. Bu yüzden cevabımız 4.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Öbeklerde $a$ ve $b$ tane taş olması durumunu $(a,b)$ ile gösterelim. $(a,b) = (0,0)$ durumunda oyunun kaybedileceği açıktır. Oyuna başlayan kişinin kazanabildiği oyunlara $A$ oyunu, kaybettiği oyunlara $B$ oyunu diyelim. $(a,b)$ ikilisi için yapılabilecek hamleler $(a-1, b), (a, b-1), (a-1, b+1), (a+1, b-1), (a-1, b-1)$ dir. Bunun anlamı, $(a,b)$ tam sayı koordinatlı bir noktanın etrafındaki $5$ tam sayı koordinatlı noktaya ulaşabilmek mümküdür. Fakat bu noktanın sağındaki sağ altındaki veya altındaki $(a, b+1), (a+1, b+1), (a+1, b)$ şeklindeki $3$ noktaya hamle yapılamamaktadır. Buna göre $(m,n)$ ikilileri için aşağıdaki tabloyu doldurabiliriz:


$$
\begin{array}{c|cccccc}
m \backslash n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
0 & B & A & B & A & B & A \\
1 & A & A & A & A & A & A \\
2 & B & A & B & A & B & A \\
3 & A & A & A & A & A & A \\
4 & B & A & B & A & B & A \\
5 & A & A & A & A & A & A \\
\end{array}
$$

Eğer $5$ uygun hamleden birini yaparak rakibe $B$ oyunu bırakabiliyorsak o hücreye $A$ oyunu yazarız. Eğer $5$ hamlenin tamamı da rakibe $A$ oyunu bırakıyorsa, o kareye $B$ oyunu yazarız. Böylece her iki bileşeni de çift sayı koordinatlı olan oyunlar $B$ oyunu olmaktadır.

Sonuç olarak yalnızca $(16, 24)$ bir $B$ oyunu olur. Diğer $4$ oyunu ilk başlayan oyuncu kazanır.