Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 09

[AtakanCİCEK]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $D$ noktasından $[BC]$ kenarına inen dikmenin ayağı $E$ olmak üzere , $|AD|=1$, $|BE|=2$, $|CE|=4$ ve $|CD|=\sqrt{21}$ ise, $|AC|$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt{6} \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2}\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{5}$
 

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{E}$

Öncelikle verilen $ABC$ üçgenini çizelim. $DEC$ üçgeninde Pisagor teoreminden $|ED|=\sqrt{5}$ bulunur. $DBE$ üçgeninde Pisagor teoreminden $|BD|=3$ daha sonra $ABC$ üçgeninde $[CD]$ kesenine göre Stewart Teoremini yazalım.
$$\sqrt{21}^2=\dfrac{x^2\cdot 3+6^2\cdot 1}{3+1}-3\cdot 1$$
Buradan $x^2=20$ ve $x=2\sqrt{5}$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt:$\boxed{E}$

Pisagor teoremi ile $|DE|=\sqrt{5}$ ve $|DB|=3$ bulunduktan sonra $|BD|\cdot |BA| = |BE|\cdot |BC|$ çemberde kuvvet bağıntısı sağlandığından $ADEC$ bir kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $AD \perp AC$ olup $ADC$ dik üçgeninden $|AC|^2 + 1^2=21$ ve $|AC|=2\sqrt{5}$ bulunur.