Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$x^{3}+3367=2^{n}$ eşitliğini sağlayan tüm $x$ ve $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.

[geo]

$3367$ nin asal çarpanlara ayrılışı $3367=7\cdot 13\cdot 37$ dir. Eğer $x^3\equiv 2^n\ \pmod 7$ ise, uygun bir $m\in N$ için $n=3m$ olur. Böylece, $3367=2^n-x^3=\underbrace{\left(2^m-x\right)}_{a}\underbrace{\left(2^{2m}+2^mx+x^2\right)}_{b}$, $a^2<b$ ve $ab=7\cdot \ 13\cdot 37$ olduğu için aşağıdakilerden biri doğrudur:

• $a=1$, $b=7\cdot 13\cdot 37$, 
• $a=7$, $b=13\cdot 37$,
• $a=13$, $b=7\cdot 37$,

$b-a^2=3\cdot 2^m\cdot x$ , $2^m\ge \sqrt[3]{3367}>14$ olduğu için

$(i)$ $b-a^2=3\cdot 2\cdot 561$ ve
$(iii)$  $b-a^2=90=2\cdot 3\cdot 15$ geçerli olamaz; ancak $(ii)$ durumu sözkonusu olabilir. Bu durumda $b-a^2=481-49=432=3\cdot 2^4\cdot 3^2$ olduğunda $n=12$, $x=9$ olmalı. Gerçekten $9^3+3367=2^{12}\ $'dir.

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III

[geo]

$x^3+7\cdot 13\cdot 37 = 2^n$.
$\bmod 7$ de incelediğimizde

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
  x    &0&1&2&3&4&5&6\\ \hline
x^3&0&1&1&6&1&6&6
\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c}
  n  &0&1&2&3\\ \hline
2^n&1&2&4&1
\end{array}$

Bu durumda $2^n\equiv 1 \pmod 7$, dolayısıyla $n=3m$ olmalı.

$x^3+7\cdot 13\cdot 37 = 2^n=(2^m)^3\Longrightarrow (2^m)^3-x^3=7\cdot 13\cdot 37$.
$\bmod 4$ te incelersek $x\equiv 1\pmod 4$ elde edilir.

$(2^m)^3-x^3=(2^m-x)\left ( (2^m-x)^2+3\cdot 2^m\cdot x\right )=7\cdot 13 \cdot 37$.
$2^m-x<37$ olmalı. Ayrıca $2^m-x\equiv 0 - 1 \equiv 3 \pmod 4$ olduğu için $2^m-x$ çarpanı $1,7, 13$ sayılarından sadece $7$ değerini alabilir.
$2^m-x=7 \Longrightarrow 2^m=x+7$,
$(2^m-x)^2+3\cdot 2^m\cdot x = 13\cdot 37$ $\Longrightarrow 49 + 3(x+7)x = 481$ $\Longrightarrow x^2+7x - 144 =0 \Longrightarrow x=9$.
$m=4$, $n=12$.