Üçgen içerisinde P noktası, Model 11

[geo]

$AB = AC$ ve $\angle BAC = 96^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeni içerisinde $\angle BAP = 57^\circ$ ve $\angle BPC = 147^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PBC = 15^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Çizim

$\triangle BPC$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun.
$\angle BOC = 66^\circ$, $\angle BAO = 48^\circ$, $\angle ABO = 99^\circ$, $\angle OAP = 6^\circ$ elde edilir.
$\angle AOP = \alpha$ olsun.

$\triangle ABO$ de Sinüs teoreminden $\dfrac {BO}{AO} = \dfrac {\sin 48^\circ}{\sin 99^\circ}$,
$\triangle AOP$ de Sinüs teoreminden $\dfrac {PO}{AO} = \dfrac {\sin 9^\circ}{\sin (180^\circ - (\alpha + 9^\circ))} = \dfrac {\sin 9^\circ}{\sin (\alpha + 9^\circ)}$.
Taraf tarafa eşitlersek $\dfrac {\sin 48^\circ}{\sin 99^\circ} = \dfrac {\sin 9^\circ}{\sin (\alpha + 9^\circ)}$.

$2\sin 48^\circ \sin (\alpha + 9^\circ)  = 2 \sin 9^\circ \sin 99^\circ = \sin 18^\circ = \cos 72^\circ$ denkleminde $\alpha$ yı bulmaya çalışıyoruz.

$\cos 72^\circ = \cos 36^\circ - \dfrac 12 = \cos 36^\circ - \cos 60^\circ = \cos (48^\circ - 12^\circ) - \cos (48^\circ + 12^\circ) = 2 \sin 48^\circ \sin 12^\circ$.

Buradan $\alpha = 3^\circ$, $\angle POC = 30^\circ$ ve $\angle PBC = 15^\circ$ elde edilir.

Not: Bu soru Model Üçgen 11 deki model üçgene aittir. Yalnız orada anlatılan bir modele ait 9 soru tipinden hiçbirine uymamaktadır.