Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 2

[Eray]

$ABC$ çeşitkenar üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve çevrel çemberi $(\omega)$ olsun. $AI, BI, CI$ doğrularının $(\omega)$ ile ikinci kesişme noktaları sırası ile $D, E, F$ noktalarıdır. $I$ noktalasından $BC, AC, AB$ kenarlarına çizilen paralel doğrular $EF, DF, DE$ doğrularını sırası ile $K, L, M$ noktalarında kesmektedirler. $K, L, M$ noktalarının doğrusal olduklarını gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$K,L,M$ noktalarının aynı doğru üzerinde bulunması için, $DEF$ üçgeninde $KLM$ kesenine göre Menelaus teoreminin gerçeklenmesi gerekmektedir. Yani, $$\dfrac{|DM|}{|ME|}\cdot \dfrac{|EK|}{|KF|}\cdot\dfrac{|FL|}{|LD|}=1 \tag{*}$$ eşitliğinin sağlandığını göstermeye çalışacağız. Problemde bahsedilen paralellik durumlarını kullanarak aşağıdaki açı değerlerine ulaşabilir.
$$m(\widehat{MIE})= \dfrac{B}{2},m(\widehat{KIE}) = 180-\dfrac{B}{2}$$$$m(\widehat{LIF}) = m(\widehat{KIF}) = \dfrac{C}{2}$$$$m(\widehat{LID}) = m(\widehat{MID}) = 180- \dfrac{A}{2}$$ 
Şimdi (*) eşitliğindeki uzunlukları taban kabul eden ve bu açıları çevreleyen kenarlara sahip üçgenlerin alanlarını yazalım.
$$\dfrac{|DM|}{|ME|}=\dfrac{A(MID)}{A(MIE)}=\dfrac{|ID|.|IM|Sin\frac{A}{2}}{|IM|.|IE|Sin\frac{B}{2}} \tag{1}$$
$$\dfrac{|EK|}{|KF|}=\dfrac{A(KIE)}{A(KIF)}=\dfrac{|IE|.|IK|Sin\frac{B}{2}}{|IK|.|IF|Sin\frac{C}{2}} \tag{2}$$
$$\dfrac{|FL|}{|LD|}=\dfrac{A(LIF)}{A(LID)}=\dfrac{|IF|.|IL|Sin\frac{C}{2}}{|IL|.|ID|Sin\frac{A}{2}} \tag{3}$$
Bu yazılan (1) , (2) ve (3) ifadelerinin taraf tarafa çarpımından (*) ifadesi elde edilir.