Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Ancestor - Haziran 03, 2008, 11:46:32 ös
-
Güzel bi soru
-
bu da güzel
-
Memedim matematiğe sardın iyice :)
ilk sorunun cvbı kök2
ikinci sorunun cvbı da: 1/3 ve 1
-
Muradım bir de çözümlerini rica etsek.İki soru da olimpiyat sorusuydu sanırım.İlkini Tübitak'ın bir kitabında gördüm,ikincisini ilköğretim olimpiyatta Tübitak kullandı yanılmıyorsam.İşin ilginci ikinci soruyu onlar da sanırım yabancı bir dergiden almışlar.Olimpiyatçı öğrencilerimizin "Yabancı dergilerden soruları" takip etmeleri yararlı olacaktır.
-
SORU-1
xxxx...=2 ifadesinde tabandaki x dışındaki xxxx... ifadesine a diyelim. İfademiz xa= 2 şeklini alacaktır. Şu durumda ha n tane x ha n-1 tane x mantığıyla iki eşitlik düşünüldüğünde a=2 olduğu görülmektedir. Dolayısıyla x2=2 yani x=21/2olur.
SORU-2 (xkökx)xkökx=(x3/2)x3/2 dir. Üssün üssü alınarak ifadenin (x)3/2.x3/2 ifadesine eşitliği görülür.
(kökx)kökx=(x1/2)x1/2 dir. Üssün üssü alınarak ifadenin (x)1/2.x1/2 olduğu görülür.
(x)3/2.x3/2=(x)1/2.x1/2 tabaları eşit olan bu iki ifadenin eşit olması için üslerininde eşit olması gerekir
bilgisini kullanarak, 3/2.x3/2=1/2.x1/2 eşitliğine ulaşırız. Çözüm yapıldığında x = 1 ve x = 1/3 sonuçlarına ulaşılır.
-
.
-
neden olmasın? xxxxx... = a denkleminde x gayet a1/a olabilir ;)
-
x= kök2 olduğunda o zaman iki farklı limit sözkonusu olur. (a=2 ve a=4 durumları) Oysa x=kök2 olduğu durumu drive ile kontrol ettim 2 yi aşamıyor. 4 e nasıl ulaşacak ki? Bence, henüz ispatlayamadım ancak, a>2 olduğunda bu limit yoktur. ;)
-
bu problem bir limit sorusu olarak analiz ve cebirde ilginç olimpiyat problemleri isimli kitapta sorulmuş.birkaç gün önce kitabı karıştırırken farkettim. Murat hocamın çözümüne benzer bir çözüm verilmiş.
-
O kitaba ben de baktım. Ancak limitin varlığını bilerek çözmüş. Oysa eşitlik 2 den büyük olduğunda limit olmuyor.
-
x büyüdükçe xxxxx... ifadesini değerinin büyümesi lazım. x = küpkök(3) ( küpkök(3) > kök(2) ))verdiğimizde çıkan sonuç 2'den büyük olmalı yani, acaba bu değer için limit 3 oluyor mu, kontrol ederseniz sevinirim. Bir de limiti hesapladığınız programın tam adını alabilirsem çok güzel olur :)
-
Sanırım sonuca ulaştım :). Bir önceki mesajımda
x büyüdükçe xxxxx... ifadesini değerinin büyümesi lazım
demiştim(tabi x abuk bir şey değil de şu an konuştuğumuz sayılara yakın olacak). Burdan yola çıkarak:
xxxxx... = a ==> xa = a ==> ln(x) = ln(a) / a 'dır.
ln(a) / a 'nın alabileceği maksimum değeri bulmak için ifadenin türevini alıp 0'a eşitledim:
d(ln(a)/a)/da = (1-ln(a))/a2 = 0 ==> ln(a) = 1 ve a = e;
a = e sabiti için ln(a)/a = 1/e olur, yani ln(x) = 1/e, o da x = e1/e (maksimum değeri).
(Yardımcı olması için ln(x)/x 'in grafiğini ekledim)
Yani a > e için ln(a)/a değeri bu fonksiyionun maksimum değeri olan 1/e' den küçük oluyor. Bu da mesajın başında bahsettiğim " x büyüdükçe ... " ifadesiyle ters, Ayrıca a > e için ln(a)/a 'ya karşılık gelen başka bir a < e sayısı vardır(grafikte olduğu gibi).
Mesela benim bir önceki mesajda yazdığım x = küpkök(3) için a = 3 ve a = 2.47805268028830... sayıları aynı sonucu veriyor ama bunlardan sadece küçük olanı istediğimiz cevaptır.
Sonuç olarak ediz arkadaşımızın istediği cevap şudur: a > e için ifadeyi sağlayan x bulunamaz