Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 36

[geo]

$x_1, \dots , x_9$ gerçel sayıları, $i=1,2\dots, 9$ için $|x_i| \leq 1$ ve $\displaystyle{\sum_{i=1}^9} x_i^3 = 0 $ koşullarını sağlıyorsa, $\displaystyle{\sum_{i=1}^9} x_i$  toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 92
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Her $ 1 \leq x_i = \sin (\alpha_i) \leq 1$ sayısı bir açının sinüsüne eşittir. Bununla birlikte $$\sin (3\alpha) = 3\sin (\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$$ özdeşliğini kullanarak
$$\displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin(3\alpha_i) = 3 \displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin(\alpha_i) - 4\displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin^3(\alpha_i) $$ elde ederiz.
$$\displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin(3\alpha_i) = 3 \displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin(\alpha_i) \leq 9 \Rightarrow \displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin(\alpha_i) \leq 3$$ elde edilir. Eşitlik hali için $$\sin (3\alpha_1) = \sin (3\alpha_2) = \dots = \sin (3\alpha_9) = 1 = \sin(90^\circ) = \sin (-270^\circ) \Rightarrow \alpha_i \in \{30^\circ, -90^\circ\}$$ olması gerekir. Aynı zamanda $$ \displaystyle{\sum_{i=1}^9} \sin^3(\alpha_i) = 0 $$ olması gerektiğinden eşitlik hali $$\sin (\alpha_1) = \sin (\alpha_2) = \dots = \sin (\alpha_8) = \dfrac 12 \text{ ve } \sin(\alpha_9) = -1$$ iken sağlanır.