Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 28

[geo]

Pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı, $f(1)=1$ koşulu ile tüm $x, y$ gerçel sayıları için $f(x^2y^2)=f(x^4+y^4)$ koşulunu sağlayan kaç $f$ fonksiyonu vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[geo]

$xy = 1$ ise $$f(1) = f\left ( x^4 + \dfrac 1{x^4} \right )$$
$AO \geq GO$ dan $$x^4 + \dfrac 1{x^4} \geq 2$$ elde edilir. Bu durumda $$f(x\geq 2) = f(1) = 1$$ elde edilir.Yani $x\in [2, \infty )$ için $f(x) = 1$ elde edilir.
$x=y$ ise $f(x^4) = f(2x^4)$ olacağından $(0,2)$ aralığındaki her $x$ için yeteri kadar $f(x^4) = f(2x^4) = f(4x^4) = \dots = f(2^{n}x^4) = f(K)$ eşitliği kullanıldığında $ K = 2^{n}x^4 \geq 2$ olacağı için $f(K)=f(1)=1$ olur. Bu durumda $(0,\infty )$ aralığındaki her $x$ için $f(x) = f(1) = 1$ olacaktır. Yani sorudaki koşulu sağlayan tek bir $f$ fonksiyonu vardır.