Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 13

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ A}) = 90^\circ$, $|AB|=\sqrt {12}$ ve $|AC|=2$ olmak üzere, bu üçgenin dışına doğru $BEDC$ karesi kurulduğunda, karenin merkezi $F$, $[AF] \cap [BC] = {G}$ ise, $|BG|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6-2\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 3 - 1
\qquad\textbf{c)}\ 2 + \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 4 - \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 5 - 2\sqrt 2
$

[geo]

$\angle BFC = 90^\circ$ olduğu için $ABFC$ kirişler dörtgenidir. $BF=FC$ olduğu için de $AF$, $\angle BAC$ nin iç açıortayıdır. Açıortay teoremi gereği
$$\begin{array}{rcl}
BG &=& \dfrac {BC}{AB + AC} \cdot AB \\
&=& \dfrac{4}{2+2\sqrt3}\cdot 2 = 6-2\sqrt3
\end{array}$$ elde edilir.

[geo]

$A$ dan ve $F$ den $BC$ ye inilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $H$ ve $I$ olsun.
$BC=4$, $BI=IC=IF=2$, $AH=\sqrt 3$, $CH=1$ ve $IH=1$ olacaktır.
$FI \parallel AH$ olduğu için $\triangle GIF \sim \triangle GHA$.

$\dfrac {GI}{IH} = \dfrac {FI}{FI + AH} = \dfrac {2}{2+\sqrt 3} = 4 - 2\sqrt 3$

$GI = 4-2\sqrt 3$ ve $BG = 6-2\sqrt 3$ olacaktır.

Bu sorunun genel hali için buraya başvurabilirsiniz.