Tübitak Genç Takım Seçme 2016 Soru 6

[MATSEVER 27]

$xyz \ge 1$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için$$(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \ge (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2)$$olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

Cauchy Schwarz eşitsizliğinden $(x^4+y)(1+\frac{z^2}{y}) \ge (x^2+z)^2$ idir. Benzer şekilde yapılıp çarpılırsa;
$$(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \ge xyz(x+y^2)(y+z^2)(z+x^2) \ge  (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2)$$
elde edilir. İspat biter.