Tübitak Genç Takım Seçme 2016 Soru 1

[MATSEVER 27]

$$x^2+y=xy^2$$$$2x^2y+y^2=x+y+3xy$$denklem sistemini sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[KereMath]

alt satırdaki ifadeyi x ile çarpalım
2x³y+y²x=x²+xy+3x²y    elde ederiz
x² yerine xy²-y yazalım ve düzenleyelim elde ettiğimiz denklem 2x³y=xy+3x²y-y olur
her tarafı y ye bölelim (y=0 durumuna sonra bakacağız) 2x³-3x²-x+1=0 elde ederiz    x=1/2 bu denklemi sağlamaktadır  denklemi  x-1/2 ye bölersek
2x²-2x-2 elde ederiz  yani bu denklem (x-1/2)(2x²-2x-2) dir.Buradan x=1/2,(1+5^1/2)/2,(1-5^1/2)/2 değerlerinin hepsinden 2 şer tane y değeri gelir.Bu değerleri ilk satırdaki eşitlikten diskriminant bakarak bulabiliriz.Ve y=0 için x=0 değeri gelir