Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin $B$ açısının iç açıortayına $CE$ dikmesi, $C$ açısının içaçıortayına da $BD$ dikmesi indiriliyor. $DE$ doğrusu, $[AB]$ kenarını $P$ noktasında ve $[AC]$ kenarını $Q$ noktasında kestiğine göre $$|AP|=|AQ|$$ olduğunu ispatlayınız.

[gahiax]

$\angle{BDC}=\angle{BEC}=90^\circ$ olduğundan $B-D-E-C$ çemberseldir.$\angle{PBD}=\alpha$, $\angle{DBE}$=$\beta$ ve $\angle{QCE}=\theta$ dersek çemberselikten; $\angle{DCE}=\beta$, $\angle{DEB}=\theta+\beta$, $\angle{EDC}=\alpha + \beta$ olur. Buradan $\angle{APQ}= \angle{AQP}= \alpha + 2\beta + \theta$ olup $$|AP|=|AQ|$$ bulunur.