2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[Metin Can Aydemir]

$x,y\in \mathbb{R}$ olmak üzere, $(5x^2+2y)$ ve $(5y^2+2x)$ sayılarının en büyüğünü $m(x;y)$ ile gösterelim. Yani, $m(x;y)=\max\{(5x^2+2y);(5y^2+2x)\}$. Buna göre, $$\dfrac{1}{5m(x;y)+4}$$ ifadesinin alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{6} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$m\geq 5x^2+2y$ ve $m\geq 5y^2+2x$ olduğundan $2m \geq 5x^2+2x +5y^2+2y$ dir. Pozitif baş katsayılı parabol fonksiyonu minimum değerini tepe noktasında aldığından $x=y=-\dfrac{1}{5}$ için $2m \geq 5x^2+2x +5y^2+2y \geq -\dfrac{2}{5}$ olup $5m \geq -1$ bulunur. $5m+4 \geq 3$ olduğundan $\dfrac{1}{5m+4} \leq \dfrac{1}{3}$ elde edilir.

Eşitlik durumu $x=y=- \dfrac{1}{5}$ iken gerçeklenir.