Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$n\ge 2$ verilmiş bir tam sayı olsun. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1$ koşulunu sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ pozitif sayıları için, $$
\dfrac{x_{1}^{5}}{x_{2}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dfrac{x_{2}^{5}}{x_{1}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dots + \dfrac{x_{n}^{5}}{x_{1}+x_{2}+\ldots + x_{n-1}}$$ toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Kesirleri $x_i$ ile genişletip, faydalı eşitsizlik (Bergström eşitsizliği) uygulayalım. $$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^6}{x_i(x_1+x_2+\cdots+x_n)-x_i^2}\geq \frac{(x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3)^2}{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}=\frac{(x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3)^2}{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2-1}$$ Kuvvet ortalama eşitsizliklerinden, $$\sqrt[3]{\frac{x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3}{n}}\geq \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}\implies x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3\geq \frac{1}{\sqrt{n}}$$ elde edilir. Dolayısıyla, $$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^6}{x_i(x_1+x_2+\cdots+x_n)-x_i^2}\geq\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2-1}$$ elde edilir. Karesel-Aritmetik ortalama eşitsizliğinden $$\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}\geq \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\implies \sqrt{n}\geq x_1+x_2+\cdots+x_n$$ Bir üst eşitsizlikte kullanırsak, $$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^5}{(x_1+x_2+\cdots+x_n)-x_i}\geq \frac{1}{n(n-1)}$$ elde edilir. Eşitlik durumu da $x_1=x_2=\cdots=\frac{1}{\sqrt{n}}$'dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Diğer bir çözüm ise yine Titu (Faydalı Eşitsizlik veya Bergstrom Eşitsizliği) kullanarak

$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i^6}{x_i\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)-x_i^2}}$$
$$\geq \dfrac{\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^3}{n^{3-2}\left[ \left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2-\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)\right] }\geq \dfrac{1}{n\left (\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2-1\right)}\geq \dfrac{1}{n\left(n-1\right)}$$

Sondaki eşitsizlik ise Karesel-Aritmetik Ortalama veya Titu ile
$$1=\dfrac{x_1^2}{1}+\dfrac{x_2^2}{1}+\cdots+\dfrac{x_n^2}{1}\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2}{n}$$
olduğu sonucu $x_1+x_2+\cdots+x_n\leq \sqrt{n}$ ifadesi ile oluşturulmuştur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye TST 1997 #6

[Lokman Gökçe]

Begström eşitsizliği

$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i^6}{x_i\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)-x_i^2}}\geq \dfrac{\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^3}{n^{3-2}\left[ \left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2-\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)\right] } $$

biçiminde değil de

$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i^6}{x_i\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)-x_i^2}}\geq \dfrac{\left(x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3\right)^2}{\left[ \left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2-\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)\right] } $$

biçiminde yazılabilir, diye düşünüyorum. Acaba Radon eşitsizliği mi uygulanmak istendi diye baktım. Ona da çok benzemedi. Eşitsizliğin nasıl uygulandığı ile ilgili daha fazla açıklama verilirse memnun olurum

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

2 şekli de doğrudur. Genelleştirilmiş Titu Eşitsizliği olarak geçmektedir ve linkte de bulunduğu üzerr Hölder Eşitsizliğinin uygulanması sonucu oluşur. İkinci çözümü eklememin sebebi direkt soruda verilen ifadeye yönelimli bir örnek teşkil etmesidir. Bağlantıdaki eşitsizlik birçok olimpiyat eşitsizliğine alternatif çözüm üretmektedir. Yakın zamanda Cebir Teoremler forumuna eklemeyi düşünüyorum daha fazla kaynak ile.

[Lokman Gökçe]

Kullanılan eşitsizlik ile ilgili 2002 de bir makale (K.-C. Yang) yayınlanmış. arxiv.org daki şu makaleden https://arxiv.org/pdf/1504.05874.pdf (14. kaynakça) onun Radon eşitsizliğinin bir genellemesi olduğunu görüyoruz. Probleme Bergström eşitsizliğini uygulamadınız. İnternette gezinerek fazla zamanımızı harcamadan, çözümü rahat anlayabilmemiz için bu tür teoremlerin linkleri de verilerek yazılırsa daha faydalı olur.

Çözüm için teşekkürler.