Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1995 Soru 5

[geo]

$ABCDEF$ dışbükey altıgeninde $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ ve $\angle BCD=\angle EFA = \pi / 3$ olsun. $G$ ve $H$ ın altıgenin iç bölgesinde $\angle AGB = \angle DHE = 2\pi /3$ olacak şekilde alınan noktalar olduğunu varsayalım. $AG+GB+GH+DH+HE\geq CF$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

Altıgenin dışına doğru $ABG'$ ile $DEH'$ eşkenar üçgenleri kurulsun.
Ptolemy'den $AG\cdot G'B + GB \cdot AG' = GG' \cdot AB \Rightarrow AG + GB = GG'$ ve benzer şekilde $HD+HE= HH'$ olacaktır.
Soru, $GG' + GH + HH' \geq CF$ ye dönüştü.
$GG' + GH + HH'$ en küçük değerini $G'$, $G$, $H'$ doğrusal iken alır. O halde $GG' + GH + HH' \geq G'H'$.
$G'BDH'$ dörtgeni ile $CBAF$ dörtgeni eş olduğu için $G'H' = CF$. Yani $AG+GB+GH+DH+HE = GG' + GH + HH' \geq G'H' = CF$.