Çözüm 1 (Lokman GÖKÇE):a. $ABE$ üçgeninde $[AC]$ iç açıortay olduğundan $$ \dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|AE|}{|EC|} \tag{1} $$
ve $AEC \sim CED $ (açı-açı-açı benzerliği) olduğundan $$ \dfrac{|AE|}{|EC|} = \dfrac{|CE|}{|ED|} \tag{2}$$
elde edilir. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden $$ |AB|\cdot |DE|=|BC|\cdot |CE| $$ sonucuna ulaşılır.
b. $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{DAC})=\alpha $ ile gösterelim. $Alan(ADF)=Alan(ACD) + Alan(ACF)$ olup
$ \dfrac{1}{2}\cdot |AD|\cdot |AF|\cdot \sin(2\alpha) = \dfrac{1}{2}\cdot \left( |AD|\cdot |AC| + |AF|\cdot |AC| \right)\cdot \sin(\alpha)$
yazılır. Burada $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ özdeşliği kullanılırsa $ |AC|= 2\cos(\alpha)\cdot \dfrac{|AD| \cdot |AF|}{|AD|+|AF|} < \dfrac{2\cdot |AD| \cdot |AF|}{|AD|+|AF|}$ olup $$|AC|< \dfrac{2\cdot |AD| \cdot |AF|}{|AD|+|AF|} \tag{3}$$ eşitsizliği elde edilir. Benzer şekilde
$$|AC|< \dfrac{2\cdot |AB| \cdot |AE|}{|AB|+|AE|} \tag{4}$$
yazılabilir. Diğer taraftan, bir üçgende bir köşeden çıkan iç açıortayın uzunluğu, bu köşeye komşu olan kenar uzunluklarının aritmetik ortalamasından küçük olduğunu
burada göstermiştik. Buna göre $AFD$ ve $ABE$ üçgenlerinde $[AC]$ iç açıortayı için
$$ |AC|<\dfrac{|AD|+|AF|}{2} \tag{5}$$ ve
$$ |AC|<\dfrac{|AB|+|AE|}{2} \tag{6}$$ elde edilir. $(3)$ ve $(5)$ ten
$$ |AC|^2 < |AD|\cdot|AF| $$ $(4)$ ve $(6)$ dan $$ |AC|^2 < |AB|\cdot |AE| $$ elde edilir. Bu son iki eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa $|AC|^2\lt \dfrac{1}{2} \left(|AD|\cdot|AF| + |AB|\cdot |AE| \right)$ sonucuna ulaşılır.
