Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 04

[Metin Can Aydemir]

Aslı, ardışık birkaç gün boyunca her gün $2$ veya $3$ şeker yiyerek özdeş $20$ şeker içeren bir kavanozdaki şekerlerin tümünü kaç farklı şekilde bitirebilir?

$\textbf{a)}\ 114 \qquad\textbf{b)}\ 117 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 123 \qquad\textbf{e)}\ 126$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$2$ şeker yediği gün sayısı $x$, $3$ şeker yediği gün sayısı $y$ olsun. Tekrarlı permütasyondan $\dfrac{(x+y)!}{x!\cdot y!}$ farklı gün sıralaması olur. Şimdi yapmamız gereken olası $x$ ve $y$ değerlerini bulup elde ettiğimiz sıralamaları hesaplamaktır. Toplam $20$ şeker olduğundan $$2x+3y=20$$ olur. $3$ modunda incelersek $x\equiv 1\pmod{3}$ olur ve teklik-çiftlik incelenirse $y$ çift bulunur. $x=3a+1$ ve $y=2b$ dersek, $$2(3a+1)+6b=20\Rightarrow a+b=3$$ bulunur. $(a,b)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$ olabilir. Buradan $(x,y)=(1,6),(4,4),(7,2),(10,0)$ çözümleri bulunur. Bu değerlerden tüm olası durum sayısı, $$\dfrac{(1+6)!}{1!\cdot 6!}+\dfrac{(4+4)!}{4!\cdot 4!}+\dfrac{(7+2)!}{7!\cdot 2!}+\dfrac{(10+0)!}{10!\cdot 0!}=\boxed{114}$$ bulunur.