Dizi Problemi

[MATSEVER 27]

\[a_{a_{a_n}}+a_{a_n}+a_n=3n\]
eşitliği tüm $n$ pozitif tamsayıları için sağlanacak şekildeki tüm $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif tamsayılardan oluşan dizilerini belirleyiniz.

[Metin Can Aydemir]

$a_n=a_m$ ise verilen eşitlikte $m$ ve $n$ yazarsak $m=n$ olur. Eğer $n=1$ ve $n=2$ yazarsak $a_1=1$ ve $a_2=2$ buluruz. Tümevarımla $a_m=m$ olduğunu gösterelim. $n=1,2,...,k-1$ için doğru olsun. $a_k=k$ ise istenen şart sağlanır.$a_k<k$ ise $a_k=m=a_m<k \Rightarrow k=m<k$ olur. Bu çelişkidir.Dolayısıyla $a_k>k$ olmalı. Dolayısıyla $a_{a_k}$ veya $a_{a_{a_k}}$ $k$ dan küçük olmalı.
i) $m=a_{a_k}<k$ ise $m=a_m=a_{a_k}<k \Rightarrow m=a_k<k$ olur. Çelişki

ii) $m=a_{a_{a_k}}<k$ ise $m=a_m=a_{a_{a_k}} \Rightarrow m=a_{a_k}=a_m \Rightarrow a_k=m<k$ olur. Çelişki

Dolayısıyla $a_k=k$ olmalı.