$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

[alpercay]

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $a = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$, $b= \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ olmak üzere $x=a+b$ gerçel sayı değerini araştırıyoruz. Küp açılımından,

$x^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

olur. $ab=  \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = -1 $ ve $a^3 + b^3 = 2+\sqrt{5} + 2-\sqrt{5} = 4$ olduğundan $x^3 = 4 -3x$ üçüncü dereceden denklemini elde ederiz. Bu denklemin köklerinden birinin $x=1$ olduğunu görmek kolaydır. $(x-1)$ çarpanı olacağını artık biliyoruz ve $(x^3 - 1) +(3x - 3) = 0$ şeklinde düzenlersek $(x-1)(x^2 + x + 1) + 3(x-1)=0$ olup $(x-1)(x^2 + x + 4) = 0$ biçiminde çarpanlara ayrılır. $x^2 + x + 4 = 0$ denkleminin gerçel kökü olmadığı için, kübik denklemin tek gerçel kökü $x=1$ dir. O halde
$$  \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}  + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = 1 $$
sonucuna ulaşırız.

[alpercay]

Linkteki gibi de çözülebilir:

https://geomania.org/forum/index.php?topic=8127.msg22106;topicseen#msg22106