2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$x^{999}-x^{666}+x^{111}$ polinomunun $x^2-x+1$ polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölümün$,$ tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ -2  \qquad\textbf{e)}\ -4$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$P(x) = x^{999}-x^{666}+x^{111} = (x^2-x+1)B(x) + ax+ b$ yazalım. Önce $ax+b$ kalan polinomunu bulalım. Bunun için $x^2 - x + 1 = 0$ denirse $x \neq -1$ olmak üzere, $x+1$ ile her iki tarafı çarparak $(x+1)(x^2 - x + 1) = 0 \implies x^3 = -1$ elde ederiz. Bu ifadeyi $P(x)$ de yazarsak, $(x^3)^{333} - (x^3)^{222} + (x^3)^{37} = -1 - 1 -1 = -3$ elde edilir. O halde $a=0, b=-3$ olup kalan polinomu, $-3$ sabit polinomudur. Böylece $B(x) = \dfrac{x^{999}-x^{666}+x^{111} +3 }{x^2- x +1}$ bölüm polinomu elde edilir.

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı,
$$ T = \dfrac{B(1) + B(-1)}{2} = \dfrac{4 + 0}{2} = 4$$
bulunur.