Gönderen Konu: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar  (Okunma sayısı 394 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« : Mart 13, 2022, 12:18:45 öö »
 $a=1,2,\dots,9$ olmak üzere; tüm basamakları aynı olan $n$ basamaklı sayıları $N_a^n=\underbrace{\overline{aa\dots a}}_{n\ \text{adet}}$ ile gösterelim. $n \mid N_a^n$ ise $N_a^n$ sayısına iyi sayı diyelim.
  • $n$ nin asal sayı olduğu tüm $N^n_a$ iyi sayılarını bulunuz.

  • $k$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere; $N_a^{3^k}$ sayılarının iyi sayı olduğunu gösteriniz.
    (The USSR Olympiad Problem Book, Problem 42.)

  • $N_8^{2024}$ sayısının iyi sayı olduğunu gösteriniz. (Eşdeğer gösterim: $2024 \mid \underbrace{88\dots 8}_{2024}$)

  • $N_4^{2028}$ sayısının iyi sayı olduğunu gösteriniz.

  • $N_2^{1998}$ sayısının iyi sayı olduğunu gösteriniz.

  • $n \mid N_a^n \Longrightarrow 3n \mid N_a^{3n}$ olduğunu gösteriniz. (2. nolu önermenin daha güçlü hali)

  • $2n \mid N_a^{2n} \Longrightarrow 22n \mid N_a^{22n}$ olduğunu gösteriniz.

  • $a,b$ birer rakam ve $a \mid b$ olmak üzere; $n \mid N_a^n \Longrightarrow n \mid N_b^n$ olduğunu gösteriniz.

  • $p$, $2$ ve $5$ ten farklı bir asal sayı olmak üzere; $n \mid N_a^n$ ve $p-1 \mid n \Longrightarrow pn \mid N_a^{pn}$ olduğunu gösteriniz.

  • $p$ asal sayı olmak üzere; $n \mid N_a^n$ ve $p \mid \frac na \Longrightarrow pn \mid N_a^{pn}$ olduğunu gösteriniz.

« Son Düzenleme: Nisan 02, 2022, 09:15:56 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 667
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #1 : Mart 14, 2022, 05:50:43 ös »
$N_a^n=\underbrace{\overline{aa\dots a}}_{n\ \text{adet}}=a\cdot \dfrac{10^n-1}{9}$'dur.

1) Eğer $n$ asalı $2,3,5$ asallarından biriyse ve değilse diye $4$ durumda inceleyelim.

Eğer $n=2$ ise $a$ çift olması yeterlidir.

Eğer $n=3$ ise $n\mid N_a^n$ olacaktır çünkü $N_a^n\equiv a\cdot n\equiv 3a\equiv 0\pmod{3}$ olur.

Eğer $n=5$ ise $a=5$ olmalıdır çünkü son basamak $0$ veya $5$ olmalıdır. $a=0$ olamayacağından $a=5$ olur.

Eğer $n\geq 7$ ise Fermat'ın küçük teoreminden $10^n-1\equiv 10-1\equiv 9\pmod{n}$ olur. Yani $$N_a^n\equiv a\cdot \dfrac{10^n-1}{9}\equiv a\cdot 1\equiv a\equiv 0\pmod{n}$$ olur. Yani $n=7$ ise $a=7$ olmalıdır. $n>7$ ise sayıyı bölemez.

2) $v(x)$ ile $x$'i bölen en büyük $3$'ün kuvvetinin üssünü gösterelim (Örneğin, $v(18)=2$ olacaktır). $N_a^{3^k}$ sayısının $3^k$ ile bölündüğünü göstermek için $v\left(N_a^{3^k}\right)\geq k$ olduğunu göstermek yeterlidir. $N_a^{3^k}=\underbrace{\overline{aa\dots a}}_{3^k\ \text{adet}}=a\cdot \dfrac{10^{3^k}-1}{9}$ olduğundan $v\left(N_a^{3^k}\right)=v(a)+v\left(10^{3^k}-1\right)-v(9)$ olacağından $v\left(10^{3^k}-1\right)\geq k+2$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. Kuvvet kaydırma teoreminden (LTE) $v\left(10^{3^k}-1\right)=v(v\left(10-1\right))+v\left(3^k\right)=k+2$ olur. Dolayısıyla ifademiz bir iyi sayıdır.

Hatırlatma: Kuvvet Kaydırma Teoremi (LTE) şu şekildedir. $p$ bir tek asal sayı, $x,y$ tamsayı ve $n$ pozitif doğal sayı olsun.  $p\not\mid x$ ve $p\not\mid y$ fakat $p\mid x-y$ ise $v_p\left(x^n-y^n\right)=v_p(x-y)+v_p(n)$ eşitliği sağlanır. Burada $v_p(x)$ fonksiyonu bize $x$'i bölen en büyük $p$'nin kuvvetinin üssünü verir.

3) $2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ olduğundan $N_8^{2024}$ sayısının $8$, $11$ ve $23$ ile bölündüğünü göstermek yeterlidir. $8$ ile bölündüğü barizdir. $10^2\equiv 1\pmod{11}$ olduğundan $$N_8^{2024}=8\cdot \dfrac{10^{2024}-1}{9} \equiv 8\cdot \dfrac{\left(10^{2}\right)^{1012}-1}{9}\equiv 0\pmod{11}$$ olur. Fermat teoreminden $10^{22}\equiv 1\pmod{23}$ olduğundan $$N_8^{2024}\equiv 8\cdot \dfrac{10^{2024}-1}{9}\equiv 8\cdot \dfrac{\left(10^{22}\right)^{92}-1}{9}\equiv 0\pmod{23}$$ Dolayısıyla $N_8^{2024}$ sayısı çin kalan teoreminden $8\cdot 11\cdot 23=2024$ sayısına bölünür.

4. ve 5. soruyu da $3$ gibi çözebiliriz. Onları diğer çözmek isteyenlere bırakıyorum şimdilik. Olmadı sonra eklerim onların çözümlerini de.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #2 : Mart 15, 2022, 03:20:47 öö »
Çözümlerin için teşekkürler Metin Can.

Bu konu literatürde incelenmiş mi biliyor musun?

İlk iletiye 6, 7, 8, 9, 10. soruları da ekledim. İlginizi çekerse onlarla da ilgilenebilirsiniz.

$n<15000$ için bilgisayar yardımıyla iyi sayılar (6, 7, 8, 9 ve 10. soruların sonucundan doğan tekrarlar silinerek) listelenmiştir.
Bunun üzerinden yeni iddialar ortaya atıp çözebiliriz.

$
\begin{array}{l|l|l||}  & n & a \\  \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
5 & 5 & 5 \\
7 & 7 & 7 \\
2 \cdot 3 \cdot 13 & 78 & 2 \\
3 \cdot 37 & 111 & 1 \\
5 \cdot 41 & 205 & 5 \\
2^{2} \cdot 101 & 404 & 4 \\
3 \cdot 5 \cdot 31 & 465 & 5 \\
3 \cdot 5 \cdot 37 & 555 & 5 \\
2^{3} \cdot 73 & 584 & 8 \\
3 \cdot 7 \cdot 37 & 777 & 7 \\
3 \cdot 7 \cdot 43 & 903 & 7 \\
2^{3} \cdot 137 & 1096 & 8 \\
5 \cdot 271 & 1355 & 5 \\
7 \cdot 239 & 1673 & 7 \\
2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 37 & 2886 & 2 \\
2^{2} \cdot 11 \cdot 89 & 3916 & 4 \\
2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 53 & 4134 & 2 \\
2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 127 & 5334 & 2 \\
2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 157 & 12246 & 2 \\
3^{4} \cdot 163 & 13203 & 1 \\
\end{array}
$
« Son Düzenleme: Mart 20, 2022, 04:59:44 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #3 : Nisan 01, 2022, 11:07:44 ös »
4.

$2028 = 2^2\cdot 3 \cdot 13^2$

$N_4^{2028} = 4(10^{2027} + \cdots + 10^0) = \dfrac {4(10^{2028} - 1)}9$

$A = 4(10^{2028} - 1)$ dersek, $2028 \mid N_4^{2028}$ olması için $4 \mid A$, $169 \mid A$ ve $27 \mid A$ olmalı.

$4 \mid A$ olduğu açıktır.

$\varphi (13^2) = 12 \cdot 13 \mid 2028$ olduğu için $169 \mid 10^{2028} - 1$, dolayısıyla $169 \mid A$ dır.
 
$10^3 = 1000 = 999 + 1 = 27\cdot 37 + 1$ ve $3 \mid 1028$ olduğu için $27 \mid A$ dır.

Dolayısıyla $2028 \mid N_4^{2028}$. $\blacksquare$




Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #4 : Nisan 02, 2022, 01:27:56 öö »
6.

$n \mid N_a^n$ ise $N_a^n = nr$.  $\quad (r \in \mathbb N)$

$N_a^{3n} = \underbrace{aa\dots a}_{n}\underbrace{aa\dots a}_{n}\underbrace{aa\dots a}_{n} = 10^{2n}N_a^n + 10^nN_a^n + N_a^n = N_a^n(10^{2n} + 10^n + 1) = 3sN_a^n = 3nrs$ $\quad (s \in \mathbb N)$ olacaktır.

Bu da $3n \mid N_a^{3n}$ demektir. $\blacksquare$

$N_a^1$ sayıları iyi sayı olduğu için $N_a^3$ sayıları da iyidir. Bu da tüm $N_a^{3^k} \quad (k \in \mathbb N)$ sayılarının iyi olduğu anlamına gelir. (2. soru da bu yöntemle ispatlanmış oldu.)
« Son Düzenleme: Nisan 02, 2022, 01:32:02 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #5 : Nisan 02, 2022, 01:44:21 öö »
5.

$222 = 2\cdot 3 \cdot 37$

$N_2^{222} = \dfrac {2 (10^{222}-1)}9$

$10^3 = 3\cdot 9 \cdot 37 + 1$ olduğu için $27 \mid 10^{222} - 1$ ve $37 \mid 10^{222} - 1$. Dolayısıyla $222 \mid N_2^{222}$.

6. sorunun bir sonucu olarak da $1998 = 3^2 \cdot 222$ olduğu için $1998 \mid N_2^{1998}$ dir.
« Son Düzenleme: Nisan 02, 2022, 09:23:36 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #6 : Nisan 02, 2022, 02:17:47 öö »
8.

$b = ak$ olsun.

$N_b^n = N_{ak}^n = kN_a^n = knm \Longrightarrow n \mid N_b^n$.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #7 : Nisan 02, 2022, 02:45:04 öö »
9.

$10^{p-1} \equiv 1 \pmod p \Longrightarrow 10^n \equiv 1 \pmod p$

$N_a^{pn} = N_a^n(10^{(p-1)n} + 10^{(p-2)n} + \cdots + 10^n + 1)$

$10^{(p-1)n} + 10^{(p-2)n} + \cdots + 10^n + 1 \equiv p \equiv 0 \pmod p$

$N_a^{pn} = N_a^n \cdot pk = nm \cdot pk = np \cdot km \Longrightarrow pn \mid N_a^{pn}$.

« Son Düzenleme: Nisan 02, 2022, 08:54:45 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
Ynt: n basamaklı n ile bölünebilen sayılar
« Yanıtla #8 : Nisan 02, 2022, 09:15:24 öö »
7.

$ N_a^{22n} = N_a^{2n}(10^{10\cdot 2n} + 10^{9\cdot 2n} + \cdots + 1) = N_a^{2n}(100^{10\cdot n} + 100^{9\cdot n} + \cdots + 1) $

$N_a^{22n} = N_a^{2n}\cdot 11 k= nm\cdot 11k = 22n \cdot km$
« Son Düzenleme: Nisan 02, 2022, 09:19:44 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal