Gönderen Konu: 2022 basamaklı sayının 2022 ile bölümünden kalan  (Okunma sayısı 303 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1956
  • Karma: +8/-0
2022 basamaklı sayının 2022 ile bölümünden kalan
« : Mart 12, 2022, 10:49:33 ös »
Tüm rakamları $1$ olan $2022$ basamaklı doğal sayının $2022$ ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 667
  • Karma: +8/-0
Ynt: 2022 basamaklı sayının 2022 ile bölümünden kalan
« Yanıtla #1 : Mart 14, 2022, 01:04:14 öö »
$2022$ tane $1$'den oluşan sayı $\dfrac{10^{2022}-1}{9}$'dur. $2022=2\cdot 3\cdot 337$ olduğundan bu üç asalın modunda incelememiz gerekir. Bu sayıya $A$ diyelim. $A$'nın tek olduğu barizdir. $A$'nın rakamları toplamı $2022$ olduğundan ve $A$'ın $3$'e bölümünden kalan ile $2022$'nin $3$'e bölümünden kalan aynı olduğundan $A$ sayısı $3$ ile bölünür. Şimdi $9A$ sayısını $337$ modunda inceleyelim. Fermat'ın küçük teoreminden, $10^{336}\equiv 1\pmod{337}$ olacaktır. Dolayısıyla, $$9A\equiv 10^{2022}-1\equiv 10^6\cdot \left(10^{336}\right)^6-1\equiv 10^6-1\equiv 1000^2-1\equiv (-11)^2-1\equiv 120\pmod{337}$$ $$\implies 3A \equiv 40\equiv 40+2\cdot 337\equiv 714\pmod{337}\implies A\equiv 238\pmod{337}$$ olacaktır. $A\equiv 1\pmod{2}$ ve $A\equiv 0\pmod{3}$ denkliklerini birleştirirsek $A\equiv 3\pmod{6}$ elde edilir. $A=337k+238$ yazarsak, $$337k+238\equiv 3\pmod{6}\implies k+4\equiv 3\pmod{6}\implies k\equiv 5\pmod{6}$$ Eğer $k=6n+5$ yazarsak, $A=337(6n+5)+238=2022n+1923$ olacaktır. Yani bu sayının $2022$ ile bölümünden kalan $1923$ olacaktır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal