Gönderen Konu: Logaritmalı Eşitsizlik (Tübitak Lise 1. Aşama/1995 11. Soru)  (Okunma sayısı 108 defa)

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 56
  • Karma: +0/-0
$a, b, c$ gerçel sayıları $(0,1)$ aralığında ise, $\dfrac{\log_ab}{a-b+1} + \dfrac{\log_bc}{b-c+2} + \dfrac{\log_ca}{c-a+3}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 9
$
« Son Düzenleme: Ocak 08, 2022, 11:34:14 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Logaritmalı Eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Ocak 08, 2022, 10:24:43 ös »
Yanıt: Hiçbiri


Çözüm:

$S = \dfrac{\log_ab}{a-b+1} + \dfrac{\log_bc}{b-c+2} + \dfrac{\log_ca}{c-a+3}$ dersek $S>\dfrac{3}{2}$ olduğunu gösterebiliriz. Şimdi bu $\dfrac{3}{2}$ değerine nasıl ulaştığımızı açıklayalım:

$S$ toplamını oluşturan üç terim de pozitif olduğundan aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulayabiliriz ve $\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca = 1$ olduğundan

$$ S\geq 3 \left( \dfrac{\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} =   3 \left( \dfrac{1}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} \tag{1}$$

elde edilir. Ayrıca $$ \left( (a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)\right)^{\frac{1}{3}} \leq \dfrac{(a-b+1) + (b-c+2) + (c-a+3)}{3} = 2 \tag{2}$$

olup $(1)$ ve $(2)$ eşitsizliklerinden $S\geq \dfrac{3}{2}$ elde edilir. Eşitlik durumunun sağlanması için $(a-b+1) = (b-c+2) = (c-a+3)$ olması gereklidir. (Gereklidir ama bu bile yeterli değildir, çünkü logaritmalı kesirlere de ortalama eşitsizliği uygulanmıştı.) Ancak bu durum $a=1, b=c=0$ iken gerçekleşir. Bu ise $a,b,c$ sayılarının $(0,1)$ açık aralığında olması ile çelişir. Yani eşitlik durumu mümkün değildir ve $S>\dfrac{3}{2}$ bulunur. Dolayısıyla $(a), (b), (c)$ seçenekleri elenir.

Diğer taraftan $a=b=c$ iken $S=\dfrac{11}{6}$ olup $(d), (e)$ seçenekleri elenir.



Not: Bu problem (veya çok benzeri) 90'lı yıllarda Tübitak Lise 1. Aşama sınavında sorulmuştu. Sınav eski tarihli olduğu için orijinal soru kağıdı elimize ya da resmi sitede yoktur. Soruyu kitaba aktarma aşamasında bir yazım hatası yapılmış olması mümkündür.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Logaritmalı Eşitsizlik
« Yanıtla #2 : Ocak 08, 2022, 11:30:39 ös »
Wolfram

Not: Bu problem (veya çok benzeri) 90'lı yıllarda Tübitak Lise 1. Aşama sınavında sorulmuştu. Sınav eski tarihli olduğu için orijinal soru kağıdı elimize ya da resmi sitede yoktur. Soruyu kitaba aktarma aşamasında bir yazım hatası yapılmış olması mümkündür.

Tübitak Lise 1. Aşama / 1995 e ait bir soru.

Yusuf SOLMAZ'a ait kitapta 11. soru olarak geçmekte. Yusuf SOLMAZ cevabı "Hiçbiri" olarak bulmuş. Yani soru hatalı.
Mustafa TÖNGEMEN'e ait kitapta da Lise 1. Aşama 1995/11 olarak geçmekte. Elimdeki baskısında TÖNGEMEN cevabı $\boxed{C}$ olarak bulmuş.

İşin ilginç tarafı, bu kitapları karşılaştırdığımda 1995 yılına ait soru sıraları aynı çıktı. Hatta biraz göz gezdirdiğimde 1998 yılına ait soru sıraları da aynı çıktı. 1998 yılına ait orijinal kitapçık ise bunlardan farklı. $4n + 1.$ sorunun geometri sorusu olma geleneği 1998. yılı kitapçığında korunurken, bu yazarlara ait kitaplarda korunmamış.
« Son Düzenleme: Ocak 09, 2022, 01:52:50 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal