Yanıt: Hiçbiri
Çözüm:
$S = \dfrac{\log_ab}{a-b+1} + \dfrac{\log_bc}{b-c+2} + \dfrac{\log_ca}{c-a+3}$ dersek $S>\dfrac{3}{2}$ olduğunu gösterebiliriz. Şimdi bu $\dfrac{3}{2}$ değerine nasıl ulaştığımızı açıklayalım:
$S$ toplamını oluşturan üç terim de pozitif olduğundan aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulayabiliriz ve $\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca = 1$ olduğundan
$$ S\geq 3 \left( \dfrac{\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} = 3 \left( \dfrac{1}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} \tag{1}$$
elde edilir. Ayrıca $$ \left( (a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)\right)^{\frac{1}{3}} \leq \dfrac{(a-b+1) + (b-c+2) + (c-a+3)}{3} = 2 \tag{2}$$
olup $(1)$ ve $(2)$ eşitsizliklerinden $S\geq \dfrac{3}{2}$ elde edilir. Eşitlik durumunun sağlanması için $(a-b+1) = (b-c+2) = (c-a+3)$ olması gereklidir. (Gereklidir ama bu bile yeterli değildir, çünkü logaritmalı kesirlere de ortalama eşitsizliği uygulanmıştı.) Ancak bu durum $a=1, b=c=0$ iken gerçekleşir. Bu ise $a,b,c$ sayılarının $(0,1)$ açık aralığında olması ile çelişir. Yani eşitlik durumu mümkün değildir ve $S>\dfrac{3}{2}$ bulunur. Dolayısıyla $(a), (b), (c)$ seçenekleri elenir.
Diğer taraftan $a=b=c$ iken $S=\dfrac{11}{6}$ olup $(d), (e)$ seçenekleri elenir.
Not: Bu problem (veya çok benzeri) 90'lı yıllarda Tübitak Lise 1. Aşama sınavında sorulmuştu. Sınav eski tarihli olduğu için orijinal soru kağıdı elimize ya da resmi sitede yoktur. Soruyu kitaba aktarma aşamasında bir yazım hatası yapılmış olması mümkündür.
